Question

在两个相邻的完全平方数n^2与(n+1)^2之间任取若干个不同的整数，试证明他们中两两乘积互不相同。

Answer 1

证明：（以下证明中m，n的最大公约数记为(m,n)，如无特殊说明字母均表示正整数）
（反证法）
假设ad=bc，设(a,b)=k，(c,d)=m，且a=kw，b=kx，c=my，d=mz（w与x，y与z分别互质）
则有kmwz=kmxy，所以wz=xy，于是x|wz，z|xy，又(x,w)=(z,y)=1，所以x|z，z|x，即x=z，于是y=w
令x=z=s，y=w=t，则a=kt，b=ks，c=mt，d=ms
由于a＜b＜c＜d，所以t＜s，k＜m，即t≤s-1，k≤m-1，故n²＜a=kt≤(s-1)(m-1)=ms-(m+s)+1≤ms-2√(ms)+1=(√(ms)-1)²=(√d-1)²＜(√(n+1)²-1)²=n²，矛盾！
于是假设不成立，即ad≠bc