Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足a>b>c,且f(1)=0.函数g(x)=f(x)+bx

(1)证明:函数y=g(x)总有两个不同的零点（2）设函数y=g(x)的零点为x1，x2,求x1-x2的绝对值的范围

Answer 1

证明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0，
又∵a＞b＞c，∴3a＞a+b+c＞3c，即a＞0＞c．
∴a＞0，c＜0，即ac＜0，
∴△=b2-4ac≥-4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，∴f（x）有两个零点．
（2）设g(x)=f(x)-1 2 [f(x1)+f(x2]，
则g(x1)=f(x1)-1 2 [f(x1)+f(x2)]=1 2 [f(x1)-f(x2)]，
g(x2)=f(x2)-1 2 [f(x1)+f(x2)]=1 2 [f(x2)-f(x1)]，
g(x1)•g(x2)=1 2 [f(x1)-f(x2)]•1 2 [f(x2)-f(x1)]=-1 4 [f(x1)-f(x2)]2，
∵f（x1）≠f（x2），∴g（x1）•g（x2）＜0，
又函数g（x）在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，由函数零点的判定定理可得：
g（x）=0在（x1，x2）内有一个实根．