Question

如图，E,F分别在正方形ABCD的边CB,AB上，且BF=BE,点M,N分别为DF,EF的中点，连结AM,NM,MF=8

Answer 1

连接DE
因为
M为FD中点，角BAD=90度，
所以
AM=FM=MD（直角三角形
斜边中线等于斜边一半）
所以
角ADM=角MAD=（1/2）角AMF
因为
FB=BE，所以AF=EC
因为
AD=DC，角FAD=角C=90度，AF=EC（HL)
所以
三角形AFD
全等于
三角形DEC
所以
角ADF=角EDC=角MAD=（1/2）角AMF
因为
AN=NE,FM=MD（中位线）
所以
MN平行DE，
所以
角FMN=角FDE
因为
角FDE+角ADF+角EDC=角ADC=90度
所以
角FMN+角AMF=90度
所以
AM垂直NM

Answer 2

连接
DE
三角形DCE
全等于

三角形DAF
(AD=DC,
角DCE=角DAF=90度,
AF=CE=边长-BF=边长-BE)
角EDC
=
角FDA
AM
是
直角三角形

FDA
写边上的中线,
AM
=
DF/2
=
FM
=
DM
角FDA
=
角MAD
(
等边对等角
)
为方便,
设
a
=
角EDC
=
角FDA
=
角MAD
MN
是三角形
FDE
的
中位线

MN//DE
角FMN
=
角FDE
(
同位角
相等)
=
90度
-
2a
角AMF
=
2a
(三角形外角等于不相邻的两
内角
和)
角AMF
+
角FMN
=
角
AMN
=
90
度
AM⊥NM
q.e.d.