Question

设任意正整数n，求证（4n-3）/{n（n+1）（n+2）}＜1/4

如题

Answer 1

郭敦顒回答：
（4n-3）/{n（n+1）（n+2）}=（4n-3）/[ n（n ² +3 n+2）]
当n＜3时（即n=1，2，3），（4n-3）/{n（n+1）（n+2）}＜1/4成立，
当n≥4时，（n ² +3 n+2）＞（4n-3）
∴[ n（n ² +3 n+2）] ＞4（4n-3）
（4n-3）/[ n（n ² +3 n+2）] ＜1/4，
∴（4n-3）/{n（n+1）（n+2）}＜1/4
综上，n为任意正整数，（4n-3）/{n（n+1）（n+2）}＜1/4恒成立。

Answer 2

令f(n)= n³+3n²-14n+12
f(1)= 2>0 , f(2)=4>0
f '(n)= 2n²+6n-14 = 2(n² +3n -7) = 2(n-2)(n+5) +3
当n≥2时，f '(n)>0
因为f(1)>0, f(2)>0 , 且当n≥2时，f '(n)>0
所以，对正整数n, f(n)>0恒成立
即：n³+3n²-14n+12>0
n³+3n²+2n >16n-12
n(n+1)(n+2)>4(4n-3)
(4n-3)/[n(n+1)(n+2)]>1/4

Answer 3

化简
16n-12<n^3+3n^2+2n
令f(x)=x^3+3x^2-14n+12 （x>0）
即求证f(x) 在 正整数中恒大于零

f’(x)=3x^2+6x-14
得x1=-1-√51/3<0 x2=-1+√51/3>0
f(x) 在（0，-1+√51/3） 单调递减
f(x) 在（-1+√51/3，正无穷） 单调递增加
f(x) 在-1+√51/3 取得极小值
经验证 f（x2）>0

证毕