Question

已知函数f(x)=x^2+xsinx+cosx. 若曲线y=f(x)在点( a,f(a) ) 处与直线y=b相切,求a

已知函数f（x）=x^2+xsinx+cosx. 若曲线y=f(x)在点( a,f(a) ) 处与直线y=b相切，求a与b.

若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同的交点，求b的取值范围

Answer 1

(1) f'(x)=2x+xcosx=x(2+cosx),
因为y=b的斜率为0，
所以 f'(a)=a(2+cosa)=0,
而 2+cosa＞0恒成立，所以 a=0；
这时，b=f(a)=f(0)=1
所以 a=0 ， b=1.
(2)由（1）知，x＜0 , f'(x)＜0, f(x)单调减；
x＞0 , f'(x)＞0, f(x)单调增，
所以 f(x) 在 x=0 取得最小值 f(0)=1，
所以，当 b＞1 时，曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点.