Question

定积分换元积分法和分部积分法分别在什么情况下使用比较好？

Answer 1

看题目长什么样了，一般就是试，试不出来再换另一种
分部的主要类型是直接积复杂的函数，然后导数比较容易积分
例如: ∫ arctanx dx,
或者是求导数后类型基本不怎么变化和多项式的乘积
例如: ∫x^2e^x dx, ∫x^3 sinx dx， ∫ x^n lnx dx
抑或是∫sec^3 x dx利用secx和tanx之间的特殊关系

换元积分有很多种，有的不直接，比较直接的是
分式，分子正好是分母的主要部分的导数
例如: ∫x^2dx/(x^3+8)
三角换元，根号(x^2-a^2),根号(a^2-x^2),根号(a^2+x^2)
或者分母是二次，配方
例如: ∫dx/[x^2+4x+5]
最简单的就是积分项可化成x+c的形式，c是常数
还有zeta代换
还有多乘一个sin或者cos然后利用sin和cos的特殊关系换元
例如 (sin^2x/cosx) 上下同乘一个cosx然后换t=sinx
等等
多做题，很多种题型都碰过就容易了
再加一句，除非很确定分部可以，先试换元

Answer 2

 

变量代换旨在化简；

分部积分旨在降级。(降低UdV中U的order，就是幂次等。)