Question

求幂函数的收敛半径

Answer 1

分析：(n+1)/n，当n趋向无穷大时，趋向1.
所以需要|x|<1,因此收敛半径为1.

追问

那x^n就不起作用吗

追答

只有当|x|<1时，x^n随着n的增大才能趋向0。否则只有x而不是x^n的话，级数就是nx和x倍的调和级数的和，因为调和级数是发散的，所以x倍的调和级数，只能是x=0时才收敛。
所以本题正是考虑了x^n，才能得出|x|<1.所以收敛半径才是1.
有什么不明白的可以随时问。谢谢

Answer 2

可以这么看：因
lim(n→inf.)|{(n+2)[x^(n+1)]/(n+1)}/{(n+1)(x^n)/n}| = |x|，
根据比值判别法，可知当 |x|<1时级数绝对收敛，故收敛半径 r = 1。