Question

求解一道大学高数题目,谢谢

求函数在指定区域D的最大值和最小值

Answer 1

f(x,y)=x²+2y²-x²y²
s.t. x²+y²-4≤0
-y≤0
令g(x,y,α,β)=x²+2y²-x²y²+α(x²+y²-4)+β(-y)
对不同的参数进行求偏导：
g'(x)=2x-2xy²+2αx=0
g'(y)=4y-2x²y+2αy-β=0
1.当α≠0，β≠0时，x²+y²-4=0，-y=0
代回g'(x),g'(y),解得α=-1，β=0.
矛盾，舍。
2.当α=0，β≠0时，-y=0.
代回，解得x=0,β=0.
矛盾，舍。
3.当α≠0，β=0时，x²+y²-4=0.
2[1-(4-x²)+α]x=0
(4+2α-2x²)*√(4-x²)=0
有解：
(x,y,α,β)=(0,±2,-2,0)①
(x,y,α,β)=(±√(5/2),±√(3/2),1/2,0)②
4.当α=0,β=0时，
2x-2xy²=0
4y-2x²y=0
有解：
(x,y,α,β)=(0,0,0,0)③
(x,y,α,β)=(±√2,±1,0,0)④
将所有解代回f(x,y)=x²+2y²-x²y²
① f(x,y)=0+8-0=8
② f(x,y)=5/2+2*3/2-(5/2)*(3/2)=7/4
③ f(x,y)=0
④ f(x,y)=2+2-2=2
最大值8，最小值0.

追答

写的有点问题，应该把y的负值在过程中舍弃，不过不影响结果