如何对待数学证明题
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一
分析法与综合法
在数学证明中,如果推理方向是从求证追溯到已知,或者是从未知到已知,这种思考方法叫做分析法。反之,如果推理方向是从已知到求证,或者是从已知到未知,这种思考方法叫做综合法。
例1
已知a、b是不等的正数,求证:
a3+b3>a2b+ab2
证法一
分析法
欲证
a3+b3>
a2b+ab2
只欲证
(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)。
∵a>b,b>0,a+b>0,
∴只要证a2-ab+b2>ab,a2-2ab+b2>0,
即(a-b)2>0,而这是显然成立的。
故a3+b3>
a2b+ab2。
证法二
综合法
∵a≠b,
∴a-b≠0,(a-b)2>0,
即
a2-2ab+b2>0,a2-ab+b2>ab。
又
a>0,b>0,a+b>0,
∴
(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),
从而
a3+b3>
a2b+ab2
。
二
直接证法与间接证法
在数学证明中,从正面证明命题真实性的证明方法叫做直接证法。凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法。它是中学数学中常用的证明方法。不是直接证明论题的真实性,而是通过证明论题的否定论题的不真实,或者证明它的等效命题成立,从而肯定论题真实性的证明方法,叫做间接证法。间接证法主要有反证法与同一法。
1.
反证法
通过证明论题的否定论题不真实,从而肯定论题真实的方法叫做反证法。
反证法有归谬法与穷举法两种。
反证法的一般步骤如下:
(1)假设命题的结论不成立(即结论的否定成立);
(2)从否定结论出发,逐层进行推理,得出与公理或前述的定理、定义或题设条件,或与临时假设等自相矛盾(即说明结论不能否定);
(3)根据排中律,最后肯定原命题成立。
在应用反证法时如果命题结论的否定方面只有一种可能情况,那么,只要把这种情况推翻,就能肯定结论成立,这种反证法叫做归谬法(见例2)。如果命题结论的否定方面不止一种情况,那就必须把否定方面所有可能的情况一一驳倒,才能肯定结论成立,这种反证法叫做穷举法(见例3)。
例2
求证:
cos10
是无理数。
证明假设
cos10
是有理数,记
cos10
=
(p、q互为质数),
则cos30
=4cos310
-3cos10
=4(
)3-3(
)
是一有理数,
而cos30
=
是一无理数,
这样与已知假设相矛盾,故cos10
是无理数。
例3
如图所示在△ABC中已知BE与CF分别是B与C的平分线,且BE=CF,求证:AB=AC。
证明:如果AB≠AC,那么,就有AB>AC或AB
AC,那么∠ACB>∠ABC,
∴∠BCF>∠CBE,BF>CE,
∵
BF=EG,
∴
EG>EC,∠ECG>∠EGC。
又
∠FCG=∠FGC,
∴∠FCE<∠FCE=∠FBE。
则
∠ACB<∠ABC(与假设自相矛盾),
即
AB>AC不可能。
(2)
同理可证,AB
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分析法与综合法
在数学证明中,如果推理方向是从求证追溯到已知,或者是从未知到已知,这种思考方法叫做分析法。反之,如果推理方向是从已知到求证,或者是从已知到未知,这种思考方法叫做综合法。
例1
已知a、b是不等的正数,求证:
a3+b3>a2b+ab2
证法一
分析法
欲证
a3+b3>
a2b+ab2
只欲证
(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)。
∵a>b,b>0,a+b>0,
∴只要证a2-ab+b2>ab,a2-2ab+b2>0,
即(a-b)2>0,而这是显然成立的。
故a3+b3>
a2b+ab2。
证法二
综合法
∵a≠b,
∴a-b≠0,(a-b)2>0,
即
a2-2ab+b2>0,a2-ab+b2>ab。
又
a>0,b>0,a+b>0,
∴
(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),
从而
a3+b3>
a2b+ab2
。
二
直接证法与间接证法
在数学证明中,从正面证明命题真实性的证明方法叫做直接证法。凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法。它是中学数学中常用的证明方法。不是直接证明论题的真实性,而是通过证明论题的否定论题的不真实,或者证明它的等效命题成立,从而肯定论题真实性的证明方法,叫做间接证法。间接证法主要有反证法与同一法。
1.
反证法
通过证明论题的否定论题不真实,从而肯定论题真实的方法叫做反证法。
反证法有归谬法与穷举法两种。
反证法的一般步骤如下:
(1)假设命题的结论不成立(即结论的否定成立);
(2)从否定结论出发,逐层进行推理,得出与公理或前述的定理、定义或题设条件,或与临时假设等自相矛盾(即说明结论不能否定);
(3)根据排中律,最后肯定原命题成立。
在应用反证法时如果命题结论的否定方面只有一种可能情况,那么,只要把这种情况推翻,就能肯定结论成立,这种反证法叫做归谬法(见例2)。如果命题结论的否定方面不止一种情况,那就必须把否定方面所有可能的情况一一驳倒,才能肯定结论成立,这种反证法叫做穷举法(见例3)。
例2
求证:
cos10
是无理数。
证明假设
cos10
是有理数,记
cos10
=
(p、q互为质数),
则cos30
=4cos310
-3cos10
=4(
)3-3(
)
是一有理数,
而cos30
=
是一无理数,
这样与已知假设相矛盾,故cos10
是无理数。
例3
如图所示在△ABC中已知BE与CF分别是B与C的平分线,且BE=CF,求证:AB=AC。
证明:如果AB≠AC,那么,就有AB>AC或AB
AC,那么∠ACB>∠ABC,
∴∠BCF>∠CBE,BF>CE,
∵
BF=EG,
∴
EG>EC,∠ECG>∠EGC。
又
∠FCG=∠FGC,
∴∠FCE<∠FCE=∠FBE。
则
∠ACB<∠ABC(与假设自相矛盾),
即
AB>AC不可能。
(2)
同理可证,AB
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对待数学证明题
证明题,有时候会比解答题还简单
因为它告诉了你结果,只是让你说明过程。
首先,要对此类题目的相关公式要熟,并且有一定的做题经验。
要能看到题目就知道出题者要考的什么知识点。
其次对待没“见过”的题目,可以从2边一起考虑,推到一起去就行了
再次,熟悉相关的解题技巧。这也是需要经验的,看到题目就知道该用什么方法证明比较好。
另外,个人建议如果想不出来的时候,可以试几个特殊值来看看过程。说不定会有很大的帮助。
证明题,有时候会比解答题还简单
因为它告诉了你结果,只是让你说明过程。
首先,要对此类题目的相关公式要熟,并且有一定的做题经验。
要能看到题目就知道出题者要考的什么知识点。
其次对待没“见过”的题目,可以从2边一起考虑,推到一起去就行了
再次,熟悉相关的解题技巧。这也是需要经验的,看到题目就知道该用什么方法证明比较好。
另外,个人建议如果想不出来的时候,可以试几个特殊值来看看过程。说不定会有很大的帮助。
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