Question

已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点）

Answer 1

x²+y²+x-6y+m=0化成圆的圆心坐标，半径形式是(x+1/2)²+(y-3)²=1/4+9-m
所以
圆心坐标是(-1/2,3)
x+2y-3=0化为x=3-2y带入x²+y²+x-6y+m=0中得5y²-20y+12+m=0
因为OP⊥OQ
多以向量OP与向量OQ乘积得0 设O(x1,y1) Q(x2,y2)
因为O为坐标原点
所以x1*x2+y1*y2=0
因为P,Q是直线方程上两点
所以
(3-2y1)*(3-2y2)+y1*y2=0化简得9-6(y1+y2)+5y1*y2=0
y1,y2为5y²-20y+12+m=0 的两个根
所以
y1+y2=4
y1*y2=(12+m)/5
带入9-6(y1+y2)+5y1*y2=0中
解m=3