Question

高二数学求双曲线方程

Answer 1

∵双曲线的渐近线为bx±ay=0
∴b/a=1/2，即a=2b，a²=4b²
i)若双曲线焦点在x轴上
可设双曲线方程为x²/4b²-y²/b²=1
即x²-4y²=4b²
联立双曲线方程与x-y-3=0可得
3x²-24x+4b²+36=0
设直线与双曲线交与A(x1,y1)，B(x2,y2)
由韦达定理可得
x1+x2=8，x1x2=4b²/3+12
∴|x1-x2|=√[(x1+x2)²-4x1x2]=4√[(3-b²)/3]
∴|AB|=√(1+1)|x1-x2|=8√3/3
解得b²=1
∴方程为x²/4-y²=1
ii)若双曲线焦点在y轴上
设双曲线方程为y²/b²-x²/4b²=1
与第一种情况相同的考虑，求出b²即可
算出b不存在
综上，双曲线方程为x²/4-y²=1

Answer 2

解：①当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设所求双曲线方程为：
x²/a²-y²/b²=1(a＞0，b＞0.)
∵点A(-7,-6√2)
B(2√7，3)在双曲线上.
∴有{49/a²-72/b²=1
28/a²-9/b²=1
解得，a²=25
b²=75.
∴此时，所求双曲线方程为x²/25-y²/75=1.
②当所求双曲线焦点在y轴上时，可设所求双曲线方程为：
y²/a²-x²/b²=1(a＞0,b＞0.)
∵点A(-7,-6√2)
B(2√7，3)在双曲线上.
∴有{72/a²-49/b²=1
9/a²-28/b²=1
解得，a、b不存在.
∴此情况不成立.
综上所述，所求双曲线方程为
x²/25-y²/75=1.