Question

极限题目解题方法求证

如图，这种求极限的方法是否正确啊？
标准解法实在让我纠结。我吧自己原来的解法整理了下，这总对了吧？~

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Answer 1

这种方法是不对的，哪怕你误打误撞，最后的结果正好是对的，在概念上也是不行的。
lim(x→0)sinx=lim(x→0)x,这没错，但要注意：是取了极限以后它们才相等，未取极限时
sinx≠x,而你后面用x取代sinx时恰恰发生在还没有取极限时，你是先代换，然后取极限，因此，是错误的。

追问

我找到的解题方法是这个。。可是在第二步开始就看不懂了。。能帮帮我吗？比如分母xsinx怎么成了x^2.

追答

这是一种常用的简化解题过程的方法。再多写几步就是
lim(x→0)(x+x^2-sinx)/(xsinx)=
lim(x→0)[(x+x^2-sinx)/x^2][x/sinx]=
lim(x→0)[(x+x^2-sinx)/x^2]lim(x→0)[x/sinx]=lim(x→0)(x+x^2-sinx)/x^2

追问

追答

你没有看清楚。是lim(x→0)[x/sinx]=1

001000212的做法是错的，就是存在我前面讲的问题。
你整理得那个更错得离谱。极限号要分配是需要被分配的式子极限存在才可以做淂。

Answer 2

第一小步骤没问题，但是第二小步骤就不对了，极限都是零的两个式子是不能划等号的。正确的方法应该是先通分，然后求导，得到结果。虽然你的结果对了，但是这样做的过程是不对的。

Answer 3

看了LZ问一楼的问题之后, 你的问题是x->0时, xsinx = x^2 是怎么来的吗?
这是因为x->0时x和sinx为等价无穷小, 即x~sinx 或, lim(x->0)(sinx/x)=1

后面就是洛必达法则了. 对于0/0的情况可使用洛必达法则对分子分母求导而求极限..

其实那个做法也是多此一举

lim(x->0)( (1+x)/sinx - 1/x )
= lim(x->0)( (1+x)/x - 1/x )
= lim(x->0)( x/x ) = 1

其中涉及上文所提的 sinx~x ..

追问

这位大哥，我把你说的整理了下，重新修改了我原来的解法，你看这下对了不？

追答

这样也不对. 这里面有一个逻辑问题. 两者的极限都为零也未必是同阶无穷小.

比如: lim(x->0)( x ) = 0, lim(x->0)( x^2 ) = 0

可是: lim(x->0)( x/x^2) = lim(x->0)( 1/x ) = ∞

这就说明后者是前者更高阶的无穷大.

至于证明 sinx~x 的方法, 我记得课本上有, 是用圆的逼近来证的

如图: 这个是单位圆, 

最里面三角形面积为 1/2*sinx*cosx

扇形面积为 1/2*x

最外面三角形面积为 1/2*tanx

因此: 1/2*sinx*cosx < 1/2*x < 1/2*tanx

同时×2, ÷sinx 得到:

cosx < x/sinx < 1/cosx

而lim(x->0)( cosx ) = lim(x->0)( 1/cosx ) = 1

得到逼近结果: lim(x->0)( x/sinx ) = 1 即 sinx~x