Question

已知f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数，且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时，有f(a)+f(b)/a+b>0成立

（1）判断f(x)在【-1,1】上的单调性，并证明它（2）解不等式f(x+1/2)<f(1/x-1) (3)若f(x)≤m^2-2am+1对所有的a∈【-1,1】恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

已知f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数，且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时，有f(a)+f(b)/a+b>0成立，（1）判断f(x)在【-1,1】上的单调性，并证明它（2）解不等式f(x+1/2)<f(1/x-1) (3)若f(x)≤m^2-2am+1对所有的a∈【-1,1】恒成立，求实数m的取值范围

(1)解析：∵f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数，∴f(-x)=-f(x),f(0)=0
∵f(1)=1，∴f(-1)=-1
∵a,b∈[-1,1],a+b≠0时，有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0成立
令b=-b
∴[f(a)+f(-b)]/(a-b)>0==>[f(a)-f(b)]/(a-b)>0
∴f(x)在【-1,1】上的单调增；

(2)解析：f(x+1/2)<f(1/(x-1))
∵f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数-1<=x+1/2<=1==>-3/2<=x<=1/2；
-1<=1/x-1<=1==>x<=0或x>=2；
∴定义域要求：-3/2<=x<=0；∵f(x)在【-1,1】上的单调增；
∴x+1/2<1/(x-1)==>x²-x/2-3/2>0==>(2x-3)(x+1)>0
得：x<-1或x>3/2
结合定义域，得：-3/2<=x<-1；
∴不等式的解为：-3/2<=x<-1；

(3)解析：若f(x)≤m^2-2am+1对所有的a∈【-1,1】恒成立
∵f(1) = 1
∴1<=m^2-2am+1==>0<=m^2-2am==>m(m-2a)>=0
当a∈[-1,0)时，m<=2a或m=>0
当 a∈[0,1]时，m=>2a或m<=0