Question

三角函数和差化积公式如何推导？

Answer 1

首先,我们知道sin(a
b)=sina*cosb
cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a
b)
sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a
b)
sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a
b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a
b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb
sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a
b)
cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a
b)
cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a
b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a
b)
sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a
b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a
b)
cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a
b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a
b设为x,a-b设为y,那么a=(x
y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx
siny=2sin((x
y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x
y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx
cosy=2cos((x
y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x
y)/2)*sin((x-y)/2)

Answer 2

正弦、余弦的和差化积
sin
α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin
α-sin
β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos
α+cos
β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos
α-cos
β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
证明过程
　　法1　sin
α+sin
β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
　　因为
　　sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β，
　　sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β，
　　将以上两式的左右两边分别相加，得
　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin
αcos
β，
　　设
α+β=θ，α-β=φ
　　那么
　　α=(θ+φ)/2,
β=(θ-φ)/2
　　把α，β的值代入，即得
　　sin
θ+sin
φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]
　　法2
　　根据欧拉公式，e
^Ix=cosx+isinx
　　令x=a+b
　　得e
^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）
　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
口诀
　　正加正，正在前，余加余，余并肩
　　正减正，余在前，余减余，负正弦
　　反之亦然
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正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）
cotα±cotβ=±sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
　　∴等式成立