Question

在极坐标中，直线ρsin（θ+π/4)=2被圆ρ=4截得的弦长为多少

Answer 1

方法1：ρsin（θ+π/4)=2，圆ρ=4代入，得sin（θ+π/4)=1/2,θ+π/4=π/6或者5π/6，θ1=-π/12或者θ2=7π/12，而θ2-θ1=2π/3，（θ2-θ1）/2=π/3,那么弦长为2*4*sin（π/3）=4*根号3
方法2：用极坐标方程的几何意义。画图
圆ρ=4，是圆心在极点的半径为4的圆。
直线ρsin（θ+π/4)=2，这里ρ是直线上一点到极点的距离。θ是直线上一点与极点连线与极轴的夹角，π/4是直线与极轴的夹角。故ρsin（θ+π/4)是直线上任意一点与极点连线在弦的垂直平分线上的投影。即极点到弦的距离为2，那么弦长为2*根号下（4^2-2^2）=4*根号3

Answer 2

利用余弦定理可得：
ρ＝根号{1^2＋1^2＋－2×1×1·cos[π－2(π/4－θ)]}
＝根号[2＋2cos(π/2－2θ)]
＝2cos(π/4－θ)
这是圆c的极坐标方程
当ρ＝1，θ＝45°＝π/4时，ρ·sin(θ＋π)＝1×sin(π/4＋π/4)＝1
∴直线l经过圆c的圆心
从而所求弦长就是圆c的直径
又极点在圆c上，故圆c的半径为1，直径为2，即直线l被圆c截得的弦长为2