Question

已知函数f（x）=log3 （mx^2 +8x+n）/(x^2+1)的定义域为R，值域为[0,2],求m与n的值

百度知道上有一些解答，我看了一些，有一个地方看不明白：
【解法一】
f(x)=log3((mx^2+8x+n)/(x^2+1)) 值域为[0,2]
所以0<=log3((mx^2+8x+n)/(x^2+1)) <=2
1<=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)<=9
(1-m)x*x-8x-n+1<=0
(9-m)x*x-8x+9-n>=0
方程=0有唯一解 有△=0
64-4(1-m)(1-n)=0
64-4(9-m)(9-n)=0
1-m<0 9-m>0
所以解得m=5 n=5

我想知道为什么 [方程=0有唯一解 有△=0]？ 不能要求唯一解，所以要让方程等于零啊

【解法二】
mx^2+8x+n>0的解为x∈R (显然m≠0)
m>0
8² -4mn>=0 (1)

m < 0那是不可能的

0<=log3（(mx^2+8x+n)/(x^2+1))<=2 即1 <=（(mx^2+8x+n)/(x^2+1))<= 9

化简后,(m-1)x² + 8x +(n-1)>=0 (x∈R) -----> m>1,8²-4(m-1)(n-1)>=0 (2)

(m-9)x² + 8x + (n -9)<=0 (x∈R) ----->m <9,8²-4(m-9)(n-9)<=0 (3)

由(1),(2),(3)得1<m<9 , (m-1)(n-1)=16,(m-9)(n-9)=16(判别式等于零才有最值)

所以m =5, n=5

我知道这个解法，（1）就出错了，应该是8² -4mn＜0才对。但它后来也得出了正确答案。很奇怪。
然后为什么 判别式等于零才有最值？ 这和【解法一】的问题应该是同一个。求解答，谢谢。

Answer 1

解法一中的问题；

不矛盾！因为是二次函数，它当前的定义域为一切实数，你的问题不是没有道理，如果是方程在
（0，+∞）上有唯一解那你的提问就有价值了；
当前的唯一解就是两根重合在一起的；
解法二中的问题：
解法二中的判别式是不能为零的，原因是二次三项式是对数的真数部分；在R上要恒大于零；
换句说就是抛物线不能与x轴有公共点，
两种就象中西医治病一样，有纯中医疗法，也有纯西医的疗法；各有各的道理就行了，别的事就别管了；熟练后就一切都明白了；

Answer 2

△>0，方程恒成立，但取不到0和2；
△<0，方程在R上不恒成立，只在一部分区间上成立。

追问

没有啊，△＞0，相当于方程有负值，那x就不属于R了啊

追答

说错了，上下反过来
△>0 方程在R上不恒成立，只在一部分区间上成立
△<0 方程恒成立，但取不到0和2