Question

平面上有两点A（-1，0）B（1,0）,点P在圆

Answer 1

设p坐标：(3+2cosα,4+2sinα)
(ap)^2+(bp)^2=(4+2cosα)^2+2(4+2sinα)^2+(2+2cosα)^2=60+24cosα+32sinα
=60+8/5×(3/5cosa+4/5sina)=60+8/5sin(α+β),其中β＝arctan3/4
当sin(α+β)=-1时取到最小值，即sina=-4/5,cos=-3/5
所以p坐标：(9/5,12/5)
================================================================================
设P点坐标(x,y)，P在圆周上，所以P满足(x-3)²+(y-4)²=4
PA²=(x+1)²+y²
PB²=(x-1)²+y²
PA²+PB²=2x²+2y²+2
把圆的方程展开x²-6x+9+y²-8y+16=4→
x²+y²+1=6x+8y-20
PA²+PB²=4(3x+4y-10)
∵3x+4y≥2√12xy=4√3xy且当3x=4y时
∴代入圆的方程得P(9/5,12/5)

Answer 2

解答：
圆周（x-3）²+（y-4）²=4
圆心m（3,4），半径为r=2
设p（x,y）
∴
（x-3）²+（y-4）²=4
ap²+bp²=(x+1)²+y²+(x-1)²+y²=2(x²+y²)+2
∵
√(x²+y²)的几何意义是p到o的距离。
∴
最小值为|mp|-r=5-2=3
∴
ap²+bp²的最小值为2*9+2=20
此时p是线段om与圆的交点
om的方程是y=(4/3)x
与x²+y²=9
求得p的坐标为(9/5,12/5)