Question

如图，已知△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4，PQ平行于AB，P点在AC上（ 不与A,C重合）Q点在BC上

(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长

Answer 1

1.因：AB=5,BC=3,AC=4 所以：BC�0�5+AC�0�5=AB�0�5，三角形ABC是RT△：BC垂直AC故S△ABC=ACxBC/2=3x4/2=6，要使△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等；即S△PQC=S△ABC/2
PCxCQ/2=1/2 x ACxBC/2 PCxCQ=ACxBC/2 .............①
又因PQ//AB △CPQ∽ △CAB 所以 PC/AC=CQ/CB CQ=CBx PC/AC............②
把②代入①式得：PCxCBx PC/AC=ACxBC/2
PC�0�5= AC�0�5/2 PC�0�5= 4�0�5/2= 8 PC=2√2
2.因：PQ//AB △CPQ∽ △CAB 所以 PC/AC=CQ/CB=PQ/AB
设PC=a， a/4=CQ/3= PQ/5 故CQ=3a/4 PQ=5a/4

△PQC的周长L1=PC+CQ+PQ= a+3a/4+5a/4=3a
四边形PABQ的周长L2=AB+BQ+PQ+AP=5+(3-3a/4)+5a/4+(4-a)=12-a/2
当L1=L2时，即3a=12-a/2 7a/2=12 a=24/7
当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，PC=24/7.

Answer 2

有三种可能：1、<PMQ=直角,由题意，三角形ABC是直角三角形，角C为直角，AB边上的高为12/5，（1/2*AB*AB边上的高=1/2*AC*BC=三角形ABC的面积）PM=QM，设PQ=x,MH垂直于PQ于H，则MH=0.5x,PQ平行AB,PQ:AB=x:5=(12/5-0.5x)/(12/5),x=120/49,
2、<PQM=直角或<QPM=直角，，则PQ=PM=x,有PQ：AB=x:5=(12/5-x)/(12/5),x=60/37,
综合1，2知120/49>12/5,第一种情况不存在，有PQ=60/37。