Question

高中数学题 高手来

Answer 1

设A，B两点坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），
则点P的坐标为
(
(x1+x2)/2,
(y1+y2)/2)
由题意可设直线l
1
的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由
得k
2
x2-（2k
2
+4）x+k
2
=0．
△=（2k
2
+4）
2
-4k
4
=16k
2
+16＞0．
因为直线l
1
与曲线C于A，B两点，
所以x
1
+x
2
=2+
，
y
1
+y
2
=k（x
1
+x
2
-2）=
．
所以点P的坐标为(1+2/k^2,2/k)
由题知，直线l
2
的斜率为
，同理可得点的坐标为（1+2k
2
，-2k）．
当k≠±1时，
此时直线PQ的斜率k
PQ
=
．
所以，直线PQ的方程为
整理得yk
2
+（x-3）k-y=0．
于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；
当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）

Answer 2

设动点M的坐标为（x，y），
由题意得，根号下（x-1）^2+y^2=绝对值x+1，
化简得y2=4x，
所以点M的轨迹C的方程为y2=4x。
（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则点P的坐标为
(自己算)．
由题意可设直线l1的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由y^2=4x和y=k（x-1）
得k^x^2-（2k^2+4）x+k^2=0．
△=（2k^2+4）2-4k^4=16k^2+16＞0．
因为直线l1与曲线C于A，B两点，
所以x1+x2=2+4/k^2
，
y1+y2=k（x1+x2-2）=
4/k．
所以点P的坐标为(自己算）
．
由题知，直线l2的斜率为
，同理可得点的坐标为（1+2k^2，-2k）．
当k≠±1时,此时直线PQ的斜率kPQ=
k/(1-k^2)．
所以PQ直线方程：yk^2+（x-3）k-y=0．
于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；
当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）