Question

已知复数z满足|z|=1，且z≠±1，求证：z/（1+z^2 ）是实数。

Answer 1

由|z|=1，可假设
z=cos(a)+isin(a)
根据复数
幂运算
，可知
z^2
=
cos(2a)+isin(2a)
z/(1+z^2)
=
z/[1+cos(2a)+isin(2a)]
=
[cos(a)+isin(a)]*[1+cos(2a)-isin(2a)]
/
[
(1+cos(2a))²
+
sin(2a)²
]
=
{
cos(a)+cos(a)*cos(2a)+sin(a)*sin(2a)
+
[sin(a)+sin(a)cos(2a)-cos(a)sin(2a)
]
i
}
/
.....
=
{
cos(a)+cos(a-2a)
+
[sin(a)
+
sin(a-2a)]
i
}
/
[
(1+cos(2a))²
+
sin(2a)²
]
=
[
2cos(a)
+
0
i
]
/
[
(1+cos(2a))²
+
sin(2a)²
]
=
2cos(a)
/
[
(1+cos(2a))²
+
sin(2a)²
]
为一实数，证毕。
希望有帮助，不清楚请追问，有用请采纳
o(∩_∩)o
说明：z/(1+z^2)可以进一步
化简
为
cos(a)
/
[1+cos(2a)]

Answer 2

z=a+bi,a,b是实数
则a^2+b^2=1
1/z=1/(a+bi)=(a-bi)/(a^2+b^2)=a-bi
所以z+1/z=2a
z≠±i
所以a≠0
所以z+1/z≠0
所以z+1/z=(z^2+1)/z是不等于0的实数
所以z/(1+z^2)是实数