Question

已知a.b.c为三角形ABC的三边，求证a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)

速度第一

Answer 1

2(ab+bc+ac)可变形为
ab+bc+ac+ab+bc+ac
a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)
因三角形两边和大于第三边,即b+c>a,a+c>b,a+b>c
故a^2=aXa<a(b+c),b^2=bXb<b(a+c),c^2=cXc<c(a+b)
所以a2+b2+c2<a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)
　　a2+b2+c2<2(ab+bc+ac)

Answer 2

因为a，b，c是正数，根据基本不等式，有a�0�5+b�0�5≥2ab，b�0�5+c�0�5≥2bc，a�0�5+c�0�5≥2ac则有2a�0�5+2b�0�5+2c�0�5≥2ab+2bc+2ac,得a�0�5+b�0�5+c�0�5≥ab+bc+ac，当a=b=c时,等号成立所以a�0�5+b�0�5+c�0�5≥ab+bc+ac。得证你弄反了.

Answer 3

2(ab+bc+ac)可变形为
ab+bc+ac+ab+bc+ac
a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)
因三角形两边和大于第三边,即b+c>a,a+c>b,a+b>c
故a^2=aXa<a(b+c),b^2=bXb<b(a+c),c^2=cXc<c(a+b)
所以a2+b2+c2<a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)
　　a2+b2+c2<2(ab+bc+ac)