Question

如何用配方法化二次型为标准型

用配方法化二次型总是化不出，看着答案很简单但是自己写却很困难，请问有什么技巧吗？
比如说f=x1^2+x2^2+5x3^2-6x1x2+2x1x3-2x2x3…

Answer 1

emmmm，献丑了。
f(x1, x2, x3)=x1² + x2² + 5 * x3² - 6*x1*x2 + 2*x1*x3 - 2*x2*x3
= x1² - 2*x1(3*x2 - x3) + (3*x2 - x3)² - (3*x2 - x3)² + x2² +5* x3² -2*x2*x3
=( x1 - 3*x2 + x3)² - 8* x2² + 4* x3² - 8*x2*x3
=( x1 - 3*x2 + x3)² - 12* x2² + 4*(x2 - x3)²
(ps,其实也是配凑，第一次把x1的平方项和x1*x2项和x1*x3项配凑，肯定会多出来x2²项和x3平方项和x2*x3，接下来配剩下的，感觉思路不是很清晰，但是好像结果算是能用。)
手机打出来好麻烦der，如果能用的话给个赞吧。嘤嘤嘤

Answer 2

第一次处理含x1的项
f = (x1-3x2+x3)^2 --这就包含了x1的所有项, 其余多退少补
-9x2^2 - x3^2 + 6x2x3
+x2^2+5x3^2-2x2x3

合并之后再处理 x2
用配方法化二次型(为了书写方便，我把x₁，x₂，x₃依次改名为x，y，z)
f(x，y，z)=x²+y²+5z²-6xy+2xz-2yz
=(x-3y)²-8y²+(x+z)²-x²+4z²+(y-z)²-y²-z²
=(x-3y)²+(x+z)²+(y-z)²-x²-9y²+3z²
注：主要消去交叉项。

Answer 3

用配方法化二次型(为了书写方便，我把x₁，x₂，x₃依次改名为x，y，z)
f(x，y，z)=x²+y²+5z²-6xy+2xz-2yz
=(x-3y)²-8y²+(x+z)²-x²+4z²+(y-z)²-y²-z²
=(x-3y)²+(x+z)²+(y-z)²-x²-9y²+3z²
注：主要消去交叉项。

追问

配出来的项数应该要小于等于三项吧？不然不是标准型呀

追答

f(x，y，z)=(x-y+z)²+4(z²-xy)

Answer 4

第一次处理含x1的项
f = (x1-3x2+x3)^2 --这就包含了x1的所有项, 其余多退少补
-9x2^2 - x3^2 + 6x2x3
+x2^2+5x3^2-2x2x3

合并之后再处理 x2
依次类推...