Question

设A为实对称矩阵，且A的平方等于0.证明：A等于0.

Answer 1

设矩阵a是n×n阶实对称矩阵，且a的平方等于0，证明a=0
设a=[aij]，其中i，j=1，2，。。。，n
令c=a^2=a×a,依据矩阵乘法法则，c中主对角线上元素cii就是a的第i行和a第i列元素对应相乘再相加所得。其中i=1，2，。。。，n
cii=ai1*ai1+ai2*ai2+...+ain*ain
=(ai1)^2+(ai2)^2+...+(ain)^2
(因为a对称，所以第i行元素和第j列元素是对应相等的)
而cii=0
（c为零矩阵，其中每孩范粉既莠焕疯唯弗沥一个元素当然也是零）
所以
0=(ai1)^2+(ai2)^2+...+(ain)^2
而a是实矩阵，其元素均为实数，
所以aij=0
(j=1,2,...,n)，即a中每一个元素均为数字零
因此a=零矩阵

Answer 2

A^2=0,则A^2的特征值均为零,故A的特征值
均为零,实数对称阵均可对角化,故A相似于
一个零矩阵,即存在一个非奇矩阵P,使得A=
P^-1OP=O