Question

空集是一切集合的子集。空集是任何非空集合的真子集。这两个性质怎样理解

我是集合初学者 最好讲得通俗易懂 谢谢

Answer 1

这是一个人为的规定，但也是一个合乎逻辑的人为规定。

子集可以这样理解，对于集合A来说，将A中的部分元素取出来组成一个集合，那么这个新集合就是A的子集。那么我们可以取出1个、2个、3个等若干个元素来组成子集。当然我们也可以取出0个元素组成子集，也就是空集。所以规定空集是所有集合的子集。

而空集没有任何元素，所以任何非空集的集合都含有不属于空集的元素。那么根据真子集的定义，空集是非空集合的子集，且非空集合含有不属于空集的元素，所以空集是任何非空子集的真子集。

Answer 2

单独来看：
（1）子集：如果对于任意一个元素x∈S，都有x∈P，则称：S是P的子集；
　　因为空集——Φ中不含任何元素，所以上述“条件命题”，对于任何一个集合（包括Φ本身），恒成立——前提为假的条件命题，总是真命题。所以，Φ是任何集合的子集；
（2）真子集：如果S是P的子集，并且：
　　存在元素x∈P，使得x∉S；则称S是P的真子集；
　　显然，对于任意一个非空集合，我们都至少能找到一个元素属于它，而这个元素又肯定不会属于Φ，所以，Φ是任何非空集合的真子集；

对比来看：
　　符合（2）的集合比（1）少一个，就是Φ本身。即：Φ不是它自身的真子集——因为我们无法在Φ中找到一个既属于Φ，又不属于Φ的元素。
　　事实上，任何集合（包括Φ），都不可能是它自身的真子集——原因同上。

追问

空集中不含任何元素为何就恒成立 ？
设有集合A、B，若有x∈A，必有x∈B，那么称A是B的子集 x为元素吧 但空集无元素 这不有点矛盾吗？

追答

我所说的只是集合子集的若干种等价的定义中的一个，也是最数学化的一个，涉及到一点点逻辑概念。如果你真的觉得不好理解，就用其他定义吧。如果真想弄懂，那我就给你解释一下。
　　这个定义可直接用于判断一个集合（A）是否是另一个集合（B）的子集。判断的规则就是：
　　　　若命题M为真，则A是B的子集；
　　　　若命题M为假，则A不是B的子集；
　　其中，M为：
　　　　对任意x，若x∈A，则x∈B；
　　请看仔细，这里说的是＂若＂有x∈A……它并没有要求一定要有x∈A，而是说如果有的话，＂需要＂怎么怎么样。那如果没有，自然就什么都不需要了——直接通过。
　　请记住，条件命题——就是“如果……那么……”这样的句子，在前提不成立时，整句话是正确的。
　　因为我们找不到属于A的x，或者说对于所有x，都不属于A，所以M对任意x都为真。既然M为真，那A当然就是B的子集了。

　　你还可以这样理解这个定义：它需要对A中的所有元素进行判断，判断它们是否属于B，如果都属于B——即：没有不属于B的——那么A就是B的子集。
　　那么当A是空集时，自然就没有不属于B的元素了，那A自然就是B的子集了。

追问

就是用反证法来证明吗？ 虽然有点牵强 不过还是懂了 谢谢 还有 这可以与数轴上表示出的不等式来表示集合吗 如x〈3 x〈5 那3是5的子集 可以这么讲吗

追答

集合是元素的集合，元素是集合的元素。要确定一个集合，就要给出确定集合的元素的规则。而规则就是一个或一组命题——可以判定真假的句子。它可以是等式，也可以是不等式。
　　所以，你所谓的不等式，只是一个确定集合的规则，它本身不是集合。当然了，规则确定了，集合也就确定了。那么，在某些对概念要求不严格——最起码不至于引起歧义——的场合，也可以用规则来直接表示一个集合。
　　再进一步，如果在某个论题中，所讨论的规则也都有固定的格式，比如你的例子：所有规则都是【x＜a】的格式。那么也可以简单地用一个关键词——即上式中的a——来表示一个集合。
　　确定了集合的表示方法，当然也就可以用这种方法来讨论集合的性质了。就像你所说的3是5的子集。其完整的、规范的说法是：
　　集合｛x｜x∈R且x＜3｝是集合｛x｜x∈R且x＜5｝的子集；

　　记住，这种方法不是规范的或通用的记法，它只能用于特定的环境中，在其中你得把你的表示方法说明清楚。或者说，这些记法只是为了特定的问题而临时定义的，出了这个问题的范围，就不再适用了。除非你在新的问题中，重新定义它。

Answer 3

什么是子集：就是我有的东西你都有，称我是你的子集
空集就是我什么都没有，自然满足我有的东西你都有，所以空集是任何几何的子集
什么是真子集：就是不光我有的东西你都有，还有些你有的东西我没有
空集同样是什么都没有，所以我有的你都有，而且对于非空的子集，他肯定有空集没有的东西，所以说空集是任何非空集合的真子集

追问

这可以与数轴上表示出的不等式来表示集合吗
x〈3 x〈5 那3是5的子集 可以这么讲吗

Answer 4

1. 空集是一切集合的子集。--对于一个空集来说，空集是它的子集但不是真子集。

2. 空集是任何非空集合的真子集。--对于一个非空集合，空集是它的真子集。

3. 此问题主要就是考察您对于空集（特指空集，它只能是自己的子集而非真子集）的理解。

Answer 5

空集包含于一切集合,空集真包含于非空集合.