Question

如何证明矩阵的行秩等于列秩，详细

Answer 1

令a是一个m×n的矩阵，其列秩为r.
令a的列的一组基为c1,c2,...cr，并记矩阵c=(c1,c2,...cr).
显然a的每个列向量是c1,c2....cr这r个列向量的线性组合.
设a的第i列ai=bi1c1+bi2c2+....+bircr ,令b=(bij)
这是一个r×n矩阵
有a=cb 再观察a的行向量，有a=cb知a
的每个行向量都是b的行向量的线性组合，因此a的行秩
≤r
的行秩.
但r仅有r行,
所以a的行秩
≤r
=a
的列秩.
这就证明了a的行秩
≤a
的列秩类似可知a的列秩=a的转置的行秩
≤a的转置
的列秩=a的行秩所以a的行秩=a
的列秩

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示