Question

1=0+1 2+3+4=1+8 5+6+7+8+9=8+27 10+11+12+13+14+15+16=27+64 . . . 求通式以及证明过程

如上

Answer 1

一般公(n^2+1)+(n^2+2)+...+(n+1)^2=n^3+(n+1)^3
证明：
1。n=1时，2+3+4=1+8，等式成立。
2。设n=k>=2时等式成立，则(k^2+1)+(k^2+2)+...+(k+1)^2=k^3+(k+1)^3
即(k^2+1)+(k^2+2)+...+(k^2+2k+1)=k^3+(k+1)^3
对于n=k+1,有
[(k+1)^2+1]+[(k+1)^2+2]+...+(k+2)^2
=[(k+1)^2+1]+[(k+1)^2+2]+...+[(k+1)^2+2k+3]
=[(k^2+1)+(2k+1)]+[(k^2+2)+(2k+1)]+...+[(k^2+2k+1)+(2k+1)]+[(k^2+2k+2)+(2k+1)]+[(k^2+2k+3)+(2k+1)]
=k^2+1)+(k^2+2)+...+(k^2+2k+1)+(2k+1)(2k+1)+[(k^2+2k+2)+(2k+1)]+[(k^2+2k+3)+(2k+1)]
=k^3+(k+1)^3+(2k+1)(2k+1)+[(k^2+2k+2)+(2k+1)]+[(k^2+2k+3)+(2k+1)]
=k^3+(k+1)^3+6k^2+12k+8
=(k+1)^3+(k+2)^3
等式对n=k+1也成立
3。终上所述，等式对所有正整数n成立
证毕