Question

已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2与a4的等差中项；（1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn

Answer 1

（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
∵2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项
∴a1（2+q2）=3a1q（1），a1（q+q3）=2a1q2+4（2）
由（1）及a1≠0，得q2-3q+2=0，∴q=1，或q=2，
当q=1时，（2）式不成立；当q=2时，符合题意，
把q=2代入（2）得a1=2，所以，an=2?2n-1=2n；
（2）bn=an-log2an=2n-n．
所以Sn=b1+b2+…bn=（2+22++2n）-（1+2+…+n）=2n+1-2-
1
2
n-
1
2
n2
因为Sn-2n+1+47＜0，所以2n+1-2-
1
2
n-
1
2
n2-2n+1+47＜0，
即n2+n-90＞0，解得n＞9或n＜-10．
故使Sn-2n+1+47＜0成立的正整数n的最小值为10．

Answer 2

解：
设{an}公比为q
(1)
2a1+a3=3a2，2a1+a1q²=3a1q
q²-3q+2=0，(q-1)(q-2)=0
q=1或q=2
a3+2是a2、a4的等差中项，则2(a3+2)=a2+a4
2a3+4=a2+a4，若q=1，则a2+a4=2a3，等式变为4=0，等式不成立，因此q≠1
q=2
2a1q²+4=a1q+a1q³，q=2代入，整理，得2a1=4
a1=2
an=a1qⁿ⁻¹=2·2ⁿ⁻¹=2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ
(2)
bn=anlog2(an)=2ⁿ·log2(2ⁿ)=n·2ⁿ
sn=b1+b2+b3+...+bn=1·2+2·2²+3·2³+...+n·2ⁿ
2sn=1·2²+2·2³+...+(n-1)·2ⁿ+n·2ⁿ⁺¹
sn-2sn=-sn=2+2²+...+2ⁿ-n·2ⁿ⁺¹=2·(2ⁿ-1)/(2-1)
-n·2ⁿ⁺¹=(1-n)·2ⁿ⁺¹-2
sn=(n-1)·2ⁿ⁺¹+2