Question

【三重积分】∫∫∫=√（x^2+y^2)dv,其中Ω是曲面z=x^2+y^2,和平面z=1所围的立体。

求详细解答。

Answer 1

Ω： p²≤z≤1
0≤p≤1
0≤θ≤2π
原式=∫∫∫ p·pdpdzdθ
=∫(0,2π)dθ∫(0,1)p²dp∫(p²，1)dz
=2π ∫(0,1)p²(1-p²)dp
=2π(p³/3-p^5/5)|(0,1)
=2π·（1/3-1/5）
=4π/15

Answer 2

采用柱坐标：
∫∫∫√（x^2+y^2)dv
=∫[0,2π]dθ∫[0,1]ρ^2dρ∫[ρ^2,1]dz
=∫[0,2π]dθ∫[0,1](ρ^2-ρ^4)dρ
=(1/3-1/5)2π
=4π/15