Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)+f(x)=0,当x属于[0,1]时,f(x)=2^x-1,则f(log1/8 125)的值是多少

Answer 1

f(x+2)+f(x)=0
可以得到
f(x)=-f(x+2)
可以得到推论
f(x)=-f(x+2)=(-1)^2f(x+4)=(-1)^kf(x+2k) k=-n...-1,0,1...n
由于f(x)是奇函数
f(-x)=-f(x)
x∈[0,1]时,f(x)=2^x-1
x∈[-1,0]时，f(x)=-f(-x)=-2^(-x)+1
当x∈[4k+1,4k+3]时,k=-n...-1,0,1...n
f(x)=f(x-4k-2+(4k+2))=(-1)^(2k+1)f(x-4k-2)=-f(x-4k-2)
同样
当x∈[4k+3,4k+5]时,k=-n...-1,0,1...n
f(x)=f(x-4k-4+(4k+4))=(-1)^(2k+2)f(x-4k-4)=f(x-4k-4)
-3<log1/8 125<-2,即log1/8 125∈[4*(-1)+1,4*(-1)+3]
于是
f(log1/8 125)
=-f(log1/8 125-4*(-1)-2)
=-f(log1/8 125+2)
=-2^-(log1/8 125+2)+1
=-125^(1/3)*4+1

追问

肿么可能这么复杂啊！答案应该很精简的！

追答

最后答案补正下
f(log1/8 125)
=-f(log1/8 125-4*(-1)-2)
=-f(log1/8 125+2)
=-2^-(log1/8 125+2)+1
=-125^(1/3)/4+1
从答案来说应该算精简了

追问

可惜错了，是-（-125^(1/3)/4+1）

追答

饿。。。太尴尬了，还是在最后计算的时候看漏了负号
f(log1/8 125)
=-f(log1/8 125-4*(-1)-2)
=-f(log1/8 125+2)
=-（-2^-(log1/8 125+2)+1） 这里的负号漏掉了 =_='
=-（-125^(1/3)/4+1）