Question

关于汽车行驶时F-t图像的问题(高手来,物理知识,数学知识扎实的来)

某汽车在平直公路上以功率P、速度v0匀速行驶时，牵引力为F0，在t1时刻，司机减小油门，使汽车的功率减为P/2，此后保持该功率继续行驶，t2时刻，汽车又恢复到匀速运动运动状态，画出汽车牵引力F关于时间t变化的F-t图像

PS:v-t图像自然是如下!这个不多说
回答正确者还有加分!!

Answer 1

P0=F0×V0，1/2P=FV

F=1/2P/V，1/2P为常数，所以F的变化和V曲线成倒数关系

 

在0和t1之间，F是常数等于摩擦力，在t2之后，F也是常数，等于摩擦力。

实线部分

追问

F与V成倒数关系我能理解.P=FV.
但是请问在t1--t2段的图像为什么是凸的呢?

追答

速度曲线是凹曲线，曲线变化趋势趋缓，即导数是越来越小，而相应的F曲线也应该和速度曲线一致从陡峭到平滑，导数也应该是从大到小，但两者的曲线的走向不同（一个从上到下，一个从下到上，因为它们是倒数关系），V为凹曲线，F必须为凸曲线才满足要求。

追问

谢谢耐心解答,
但是我不明白为什么"曲线变化趋势趋缓，即导数是越来越小"呢,这句话是什么意思呢请讲解一下.
另外,F与V的乘积为定值,怎么能推导出F必须为凸曲线呢?

追答

一个曲线的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率。切线越陡，导数值越大。切线的K可以直接感受出来。和T轴平衡，斜率最小（变化率最小），和V或F轴平衡，斜率最大（变化率最大）

你应该知道：速度曲线的导数，就是加速度。速度变化平缓，那么加速度就小。

追问

那么速度曲线在t1到t2这段的曲线中,其导数应该是负值吧?
导数值越来越小,加上负号应该就是导数越来越大吧?

还有,我以为F与V的乘积为定值P能说明当v减小时,F要增大,但是我却看不出其能说明F的曲线必为凸曲线呢.(比如说如果它为凹曲线,他也在增大,也有可能与那个时刻的v的乘积为定值P啊.)

追答

“那么速度曲线在t1到t2这段的曲线中,其导数应该是负值吧?
导数值越来越小,加上负号应该就是导数越来越大吧”

看速度的变化趋势，看K值的绝对值，即导数的绝对值。导数为负，负代表速度减少，不代表变化幅度。

“我以为F与V的乘积为定值P能说明当v减小时,F要增大,”，你说得不错，F是增大。F增大的幅度和V减少的幅度应该一致，这样相乘才是定值。V导数的绝对值逐渐减小，那么F导数值（大于0）也应该逐渐减小，F曲线是增函数，只有凸曲线其导数值才逐渐减小。

追问

请问导数值的大小和他们的乘积相关吗?我想过如果x=y*z,那么y和z的变化情况将比较复杂...比如当y减小时,z增大,但是貌似都是非线性的..

也就是我还是没弄明白F的曲线为什么要凸...

追答

速度曲线，是凹曲线的减函数，导数的绝对值越来越小（从负值到0），也就是速度的变化幅度越来越小，这个知道不知道？
而F曲线的导数也应该和V的导数相符，越来越小（从正值到0）。
你自己画图，如果是凹曲线的增函数，导数是越来越大，还是越来越小？导数的大小，用图中曲线的切线的斜率来直观表示。

其实道理，没法再讲了，如果知道曲线及导数的相关知识，是不难理解的。

追问

谢谢兄台耐心解答,
(1)速度曲线，是凹曲线的......这个知道不知道？=====>这个理解了
(2)而F曲线的导数也应该和V的导数相符，越来越小（从正值到0）。==>这里不理解,
比如P=Fv是100=0.001X100000,如果在1s内,这个等式变为100=1X100
那么y的变化率是小于1的(0.999)(很小).而z的变化率是99900(很大).(所以能否说这里不能得出F与v的导数相符呢?)

追答

怎么计算变化程度？是比值来比较，不是绝对值比较。
就你所说的例子：100=0.001X100000,如果在1s内,这个等式变为100=1X100
一个是0.001变成1，扩大1000倍，而100000变成100，是缩小1000倍。变化幅度一样。
1变成2与4变成8的变化程度一样，都是增加100%。
你不能说1变成2与4变成5的变化程度一样。

追问

关于变化程度这个明白了!谢谢耐心解答.
再请问:最终,v-t图和F-t图的t1到t2的各自那段曲线的外形相等吗?也就是说如果把它们放在一个坐标系中,它们能否轴对称?如果不对称...稍微精准一点点的画法是怎么呢?)

追答

数学上，xy=C是双曲线（FV=1/2P0)，一条在第一象限，一条在第三象限，先在第三象限画出相应的曲线(关于原点对称），然后以V（y）轴为对称轴，作该曲线的对称曲线（镜像对称），然后把这个作好的曲线移到相应的F曲线图像上就行了。

随便问一下，这是什么年级的物理题？

Answer 2

0-t1段，以功率P、速度v0匀速行驶时，牵引力为F0。

t1-t2段，功率为P/2，速度曲线是凹的，而F=P/V ，则 该段F-t图像为凸。

且V不断减小，则F增大。

t2以后，以功率P/2、速度v0/2匀速行驶时，牵引力为F0。

故图像为

追问

牵引力F将直接减小到F/2,并且逐渐增大我能理解.
但是请问在t1--t2段的图像为什么是凸的呢?

追答

你可以设v=f(x)，那么f(x)在t1-t2上是连续递减的，且是凹的，那么f(x)的一阶导数＜0，f(x)的二阶导数＞0.
现在F=P/f(x)，他在t1-t2上也是连续的，对他求二阶导数，得
-P(f″(x)f²(x)+2f ′ ²(x))/f^4(x)<0
即P/f(x)为凸函数

追问

我怎么求出二阶导数始终和你的对不上呢?能不能麻烦写一下过程呢(求导的过程)?谢谢..

追答

是我算错了，不能这样做的。

追问

嗯..也谢谢你的热心回答...

Answer 3

P=F*V,因为p突然减为P/2,所以牵引力突变为F0/2，之后V慢慢减小，牵引力慢慢增大，直到牵引力为P/(2V0),

至于图像，将你画的v-t图翻过来就差不多了

追问

兄台.不知是不是你的画图偏差.最后牵引力肯定要增大到跟开始一样啊...

嗯.高等数学只能算知道,但是就是不能运用,听懂应该还是没问题,能否解答一下呢?

Answer 4

当t2>t>t1,

F=(P/2)/v,
功率不变,P/2=常数
F'=-(P/2)/(v')^2
二阶导数F"=[(P/2)/(v')^4]*2*v' v"-------------------------------(1)
P>0; v减速,v'<0-----------------------------------------(2)
从(1),(2),F" 和v" 正负号相反,
t1≤t≤t2,
减速度逐渐变小, 当t=t2, 减速度=0,匀速运动,
v(t)是凹曲线, v"(t)>0,当t2>t>t1
∴F"(t)<0, F(t)是凸曲线,当t2>t>t1

追问

兄台,你求导的这个结果和我求的不太一样哦..能不能写一下过程?
比如说F的一阶导数F',我求出来怎么是F'=-(P/2)*v'/v^2

追答

F'=-(P/2)*v'/v^2

F"=(P/2)*[v'(2v)v'-v^2v"]/v^4=(P/2)*[2*(v')^2/v^3 -v"/(v^2)]
v>0,(v')^2>0,

t1≤t≤t2,
减速度逐渐变小, 当t=t2, 减速度=0,匀速运动,
v(t)是凹曲线, v"(t)>0,当t2>t>t1
∴当2(v')^2>v"v,F"(t)>0, F(t)是凹曲线,
∴当2(v')^2<v"v,F"(t)<0, F(t)是凸曲线,