Question

三次方程的解法公式和三根与系数的关系式（又称韦达定理）分别是什么

Answer 1

解法公式

一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。　　
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，　　
总判别式：Δ=B^2－4AC。　
　
当A=B=0时①：　　
X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。　　

当Δ=B^2－4AC>0时②：　　
X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；　　
X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，　　其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。　　

当Δ=B^2－4AC=0时③：　　
X1=－b/a＋K；　　X2=X3=－K/2，　　　其中K=B/A，(A≠0)。　
　
当Δ=B^2－4AC<0时④：　　
X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；　　
X2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，　　其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。

三根与系数的关系式（又称韦达定理）
X1·X2·X3=—d/a；
X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a；
X1+X2+X3=—b/a。