Question

已知函数f(x)=-sin2x+sinx+a当f(x)=0有实数解时.求实数a的取值范围

已知函数f(x)=－sin2x+sinx+a，（1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围；（2）若x∈R，有1≤f(x)≤4\17，求a的取值范围
求详解...

Answer 1

解：（1）令t=sinx,则
f(x)=f(t)=-t^2-t+a=-(t+1/2)^2+a+1/4
当f（x）=0时
-(t+1/2)^2+a+1/4=0
-(t+1/2)^2=-（a+1/4）
(t+1/2)^2=a+1/4
a+1/4≥0
a≥-1/4
解法2：
当-t^2-t+a=0时有实数解时，依据△=b^2-4ac=1+4a≥0，得
4a≥-1
a≥-1/4

(2)f(x)=f(t)=-t^2-t+a=-(t+1/2)^2+a+1/4
若x∈[π/6，2π/3]，则t=sinx∈[1/2，1]，1≤f（x）≤4/17
当t=1/2时，f(x)=-1+a+1/4=a-3/4
7/4≤a≤20/4
当t=1时，f(x)=-9/4+a+1/4=a-2
3≤a≤25/4

二者重合区域为3≤a≤20/4

Answer 2

sin2x是(sinx)²？

追问

额
是-(sinx)²

追答

（1）a=sin²x-sinx
令t=sinx，则a=t²-t，t∈[-1,1]

t=1/2时，a min=-1/4，
t=-1时，a max=2
所以a∈[-1/4,2]
（2）由(1)得f(x)=-t²+t+a

所以t=1/2时，f(x)max=a+1/4≤17/4，a≤4
t=-1时，f(x)min=a-2≥1
所以3≤a≤4.

追问

第二问能详细点不？

追答

f(x)是关于t的二次函数，对称轴为t=1/2
t=1/2时，f(x)取得最大值，t=-1时，f(x)取得最小值。