Question

当0<x<π/4时,函数f(x)=cos^2x/(cosxsinx-sin^2x)的最小值是

Answer 1

解：
f(x)=cos^2x/(cosxsinx-sin^2x)=cos^2x/[sinx(cosx-sinx)]=1/[tanx(1-tanx)]
当x属于(0,π/4)时，tanx>0,1-tanx>0,
1/[tanx(1-tanx)]≥1/[(tanx+1-tanx)^2/4]=4，
即当且仅当tanx=1-tanx，即tanx=1/2,x=arctan（1/2）时，min f(x)=4。

Answer 2

分子分母同除以 cos^2 x, 得
f(x) = 1/(tanx -tan^2 x)
0<tanx<1

令tanx = u
1/(tanx -tan^2 x) = 1/u(1-u) = 1/u + 1/(1-u) >= 2√(1/u)*(1/(1-u)) = 2√ 1/u(1-u)
1/u(1-u) >= 2√ 1/u(1-u)
√ 1/u(1-u) >=2
1/u(1-u) >= 4

f(x) =cos^2x/(cosxsinx-sin^2x) = 1/(tanx -tan^2 x) = 1/u(1-u) >=4

最小值是4