Question

高中数列函数结合题

设f（x）=ax^2+bx+1/x+c(a>0)为奇函数,且|f(x)|min=2根号2,数列{an}与{bn}满足如下关系:a1=2,an+1=f(an)-an/2,bn=an-1/an+1 (注:n+1,n-1,n都标在右下角) Q1:f(x)的表达式 Q2:证明:bn+1=bn^2 Q3:求{bn}的通项公式

Answer 1

（1）f(x)是奇函数，即f(-x)=-f(x)，ax^2-bx-1/x+c=
-ax^2-bx-1/x-c，2ax^2+2c=0，a=0，c=0；

所以f(x)=bx+1/x;
又由于|f(x)|min=2√2
；即|f(x)|=b|x|+1/|x|>=2√b=2√2(（均值不等式） ；

所以b=2；
所以：f(x)=2x+1/x;

(2)
a(n+1)=2a(n)+1/a(n)-a(n)/2=3a(n)/2+1/a(n);

b(n)=a(n)-1/a(n+1);

b(n+1)=a(n+1)-1/a(n+2)
=3a(n)/2+1/a(n)-1/[3a(n+1)/2+1/a(n+1)]

好像有些问题：bn=an-1/an+1是
bn=a(n-1)/a(n+1)呢，还是a(n)-1/a(n)+1呢，

不论怎么样，按照上边思路来就可以了；
（3）根据2的结果：b(n+1)=b(n)^2=b(n-1)^4
=b(n-2)^(2^3)
=b(1)^(2^n);