Question

如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达B,C)，过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达B，C点），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数表达式；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
我没学过相似三角形，所以有用到相似的，请讲的清楚些。网上都是两个条件就证明全等，我不懂。

（2）
如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．
（1）求证：△ABF全等于△COE；
（2）当O为AC边中点，AC/AB=2时，如图（2），求OF/OE的值
（3）当O为AC边中点，AC/AB=n时，求OF/OE的值

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Answer 1

第一题：
（1）证明：∵RT△ABC中，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°（注：这是等腰直角三角形）；BC=根号2×AB=2根号2
∵∠ADE=45°，∴∠ADB+∠CDE=180°-∠ADE=180°-45°=135°
而在△ABD中，∠B=45°，因此∠ADB+∠BAD=180°-∠B=180°-45°=135°。
故∠ADB+∠CDE=∠ADB+∠BAD，即∠CDE=∠BAD。
所以对于△ABD和△DCE，对应角∠B=∠C、∠CDE=∠BAD,故可得出△ABD∽△DCE（注：两个相似三角形，对应的三个角相等（只要有两个相等，第三个角必定相等）或者对应的三个边成比例）
（2）∵△ABD∽△DCE，所以BD/CE=AB/CD...(1)（注解：相似三角形对应边的比例相等）；代入BD=x，CE=AC-AE=2-y，AB=2，CD=BC-BD=2根号2-x入（1），得到：
y=x^2/2-根号2乘x+2。
（3）当△ADE是等腰三角形时，AD=DE；则在相似三角形ABD、△DCE中，
BD/CE=AB/CD=AD/DE=1，因此△ABD全等于△DCE（注解：两个互为全等的三角形肯定是相似三角形，当相似比=1时，这两个三角形就是全等三角形）；于是对应边AB=DC=2，BD=EC=BC-DC=2根号2-2；
则AE=AC-EC=2-(2根号2-2)=4-2根号2。
第二题（我看了你的图片，发现你用文字书写时题目写错了，第（1）问应该是证明相似△ABF∽△COE，全等符号是在∽之下有一个=）：
(1)对于锐角∠BAD（∵∠BAD<RT∠BAC=90°）和∠C，对应边相互垂直（AD⊥BC、AB⊥AC），所以∠BAD=∠C；
又由于在RT△ABD中，∠ABO+∠BOA=90°；∠EOC+∠BOA=180°-∠BOE=180°-90°（∵OE⊥OB）=90°；因此由∠ABO+∠BOA=∠EOC+∠BOA推出∠ABO=∠EOC；
因此，对于△ABF和△COE而言，对应角∠BAD=∠C、∠ABO=∠EOC，可得出：
△ABF∽△COE（注解：证明两个三角形互为相似，其中一个方法：只要证明对应角有两个相等即可）。
（2）当O为AC边中点时，AO=OC；又因为AC/AB=2OC/AB=2=tan∠ABC，所以OC/AB=1，AO=AB；
上一问已经证明△ABF∽△COE，而相似比OC/AB=OE/AF=CE/BF=1，则此时△ABF全等于△COE（注：再次证明了你的第（1）问写错了，只是在更为特殊的情况下二者才全等）。此时，OE=BF
因为RT△BAO中，AO=AB，所以∠ABO=45°（注解：RT△BAO是等腰直角三角形）
tan∠CBO=tan（∠ABC-∠ABO）=tan（∠ABC-45°）
=（tan∠ABC-tan45°）/[1+（tan∠ABC×tan45°）]=(2-1)/(1+2×1)=1/3
因此RT△BOE中，tan∠EBO=tan∠CBO=OE/BO=OE/(BF+OF)=OE/(OE+OF)=
1/(1+OF/OE)=1/3，∴OF/OE=2。
(3)接第（1）问，如果AC/AB=n,tan∠ABC=AC/AB=n，tan∠ABO=OC/AB=0.5AC/AB=n/2，则：
tan∠EBO=tan（∠ABC-∠ABO）
=(tan∠ABC-tan∠ABO)/[1+(tan∠ABC×tan∠ABO)]=(n-n/2)/(1+n×n/2)=n/(2+n^2)
由△ABF∽△COE推出OC/AB=OE/BF=n/2，得到：BF=2OE/n
∴RT△BOE中，tan∠EBO=OE/BO=OE/(BF+OF)=OE/(2OE/n+OF)=
1/(2/n+OF/OE)=n/(2+n^2)=1/(2/n+n)，推出OF/OE=n。

Answer 2

1.
（1）由已知条件可以得到∠ABD=∠DCA=45°, （1）
∠DEC+∠CED=180°-45°=145°,
∠ADB+∠CED=180°-∠ADE=145°
所以∠DEC=∠ADB （2）
由式（1）（2）可得△ABD∽△DCE
（2）因为△ABD∽△DCE
所以BD/CE=AB/CD
BD=x，CE=2-y，AB=2，CD=BC-x=2.828-x
分别带入，得出y=0.5x^2-1.414x+2
(3)因为∠ADE=45°, △ADE为等腰三角形，则△ADE为等腰直角三角形；
所以AE=DE=CE=0.5AC=1