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解答：题设函数的各阶求导：
f^(n)(x)=(1/2)^n*sin(1/2x+nπ/2) ；其中n=0、1、2、3、……
而：
f^(n)(0)取值为：0、1/2、0、-1/8、0、1/32……；（n=0、1、2、3、……）
因此f（x）的迈克劳林级数为：
f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+……+f^(n)X^n/n!+……；
具体代入：
0+x/2+0-(x^3/8)/3!+0+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……
化简：x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……
该级数的收敛半径为R=+无穷大；
检验：|X-X0|<R 内，极限limRn（X)=0；（注n——>无穷）
因此，综上可得：
y=sinx/2的展开幂次级：
sinX/2=x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……（注X∈R）
这是我搬运的，希望采纳
f^(n)(x)=(1/2)^n*sin(1/2x+nπ/2) ；其中n=0、1、2、3、……
而：
f^(n)(0)取值为：0、1/2、0、-1/8、0、1/32……；（n=0、1、2、3、……）
因此f（x）的迈克劳林级数为：
f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+……+f^(n)X^n/n!+……；
具体代入：
0+x/2+0-(x^3/8)/3!+0+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……
化简：x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……
该级数的收敛半径为R=+无穷大；
检验：|X-X0|<R 内，极限limRn（X)=0；（注n——>无穷）
因此，综上可得：
y=sinx/2的展开幂次级：
sinX/2=x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……（注X∈R）
这是我搬运的，希望采纳
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北京中恒
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本回答由北京中恒提供
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