Question

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,点E在线段BC上,射线ED⊥AB于点D.

（1）如图，点F在线段DEA上，过点F作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N，点G在线段AF上，且∠GFN=∠GNF,∠GDF=∠GFD.

①试判断线段DG与NG有怎样的位置关系，直接写出你的结论； ②求证：∠1=∠2；
（2）如图2，点F在线段ED的延长线上，过F作FN∥BC,分别交AB、AC于点M、N，点G在线段AF上，且∠GFN=∠GNF,∠GDF=∠GFD.探究线段DG与NG的位置关系，并说明理由.

Answer 1

（1）①试判断线段DG与NG有怎样的位置关系，直接写出你的结论
结论是DG⊥NG

②求证：∠1=∠2
证明：∵∠ACB=90°
               MN∥BC
           ∴∠ANM=∠ACB=90°
           ∴∠1+∠AFN=90°
               ∠2+∠GNF=90°
           又∵G在AF上
           ∴∠GFN=∠AFN
          ∴∠1+∠GFN=∠2+GNF
          又∵∠GFN=∠GNF
          ∴∠1=∠2

（2）DG⊥NG
证明：∵NF∥BC
              ∠ACB=90°
          ∴∠ANF=∠ACB=90°
          ∴∠AFN+∠FAN=90°
          又∵∠B=45°
          ∴∠BAN=45°
          又∵∠FAN=∠FAD+∠BAN
          ∴∠AFN+∠FAD=45°
          又∵DE⊥AB，F在DE的延长线上
          ∴∠FDA=90°
          ∴∠FAD+∠GFD=90°
          又∴∠GDA+∠GDF=90°
                 ∠GDF=∠GFD
          ∴∠FAD=∠GDA
          又∵∠AGN=∠AFN+∠GNF
                  ∠FGD=∠FAD+∠GDA
          ∴∠AGN=2∠AFN
              ∠FGD=2∠FAD
          ∴∠AGN+∠FGD=2（∠AFN+∠FAD）
          ∴∠AGN+∠FGD=90°
          ∴∠DGN=180°-（∠AGN+∠FGD）=90°
          ∴DG⊥GN

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追问

又∴∠GDA+∠GDF=90°
∠GDF=∠GFD
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