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1.求微分方程xy'-3y+x⁴=0满足初始条件y(1)=2的特解。
解:先求齐次方程xy'-3y=0的通解:
分离变量得dy/y=(3/x)dx;
积分之得lny=3lnx+lnC'=ln(C'x³);
故得y=C'x³;把C'换成为x的函数u,得y=ux³..........(1)
将(1)对x取导数得dy/dx=3x²u+x³(du/dx).............(2)
将(1)和(2)代入原方程得x[3x²u+x³(du/dx)]-3ux³+x⁴=0
化简得x⁴(du/dx)+x⁴=x⁴(du/dx+1)=0
因为x≠0,故必有du/dx+1=0,即有du=-dx,故u=-x+C
代入(1)式即得原方程的通解为y=(-x+C)x³=-x⁴+Cx³
将初始条件y(1)=2代入得2=-1+C,故得C=3;
于是得原方程的特解为y=-x⁴+3x³.
(未完,待续,请别中断答题程序)
解:先求齐次方程xy'-3y=0的通解:
分离变量得dy/y=(3/x)dx;
积分之得lny=3lnx+lnC'=ln(C'x³);
故得y=C'x³;把C'换成为x的函数u,得y=ux³..........(1)
将(1)对x取导数得dy/dx=3x²u+x³(du/dx).............(2)
将(1)和(2)代入原方程得x[3x²u+x³(du/dx)]-3ux³+x⁴=0
化简得x⁴(du/dx)+x⁴=x⁴(du/dx+1)=0
因为x≠0,故必有du/dx+1=0,即有du=-dx,故u=-x+C
代入(1)式即得原方程的通解为y=(-x+C)x³=-x⁴+Cx³
将初始条件y(1)=2代入得2=-1+C,故得C=3;
于是得原方程的特解为y=-x⁴+3x³.
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2.求曲面e^x-z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面和法线方程。
解:z=e^x+xy-3;
∂z/∂x=e^x+y;∂z/∂y=x;故∂z/∂x∣[x=2,y=1]=e²+1;∂z/∂y∣[x=2,y=1]=2;
故切面方程为(e²+1)(x-2)+2(y-1)-z=0
法线方程为(x-2)/(e²+1)=(y-1)/2=z/(-1)
系科仪器
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