Question

如图，在三角形ABC中，AD是角CAB的角平分线，且AB等于AC+CD，求证：角C等于2角B

Answer 1

1、在AB上取点C'，使AC' = AC,则三角形ACD与三角形AC'D全等（边角边定时，AC' = AC，角DAC = 角DAC' 边AD共用）
所以，角AC'D = 角C，DC是= DC'
2、证三角形BC'D是等腰三角形
又AB = AC+DC，所以DC' = DC = AB-AC = AB-AC' = C'B，所以三角形等腰三角形
所以角B =角C'DB
所以角C =角AC'D = 角B +角C'DB = 2角B(三角形外角等于另外两个内角之和)

Answer 2

证明：延长AC到点E，使CE=CD，连接DE
因为AB=AC+CD=AC+CE，所以AE=AB
AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠EAD
在△ABD和△AED中
AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD
所以△ABD≌△AED，∠E=∠B
因为CE=CD，所以∠CDE=∠E
∠ACB是△CDE外角，因此∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E
所以∠ACB=2∠B

Answer 3

在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AB=AC+CD，∴CD=BE，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，
∵AD=AD，AC=AE，
∴ΔADC≌ΔADE，∴DE=CD，∠C=∠AED，
∴DE=BE，∴∠B=∠EDB，
∵∠AED=∠EDB+∠B=2∠B，
∴∠C=2∠B。