Question

问几个二次函数的题目

1.已知二次函数f（x）=ax^2+bx+c和一次函数g（x）=-bx,其中a,b,c∈R且满足a﹥b﹥c,f（1）=0. ⑴证明：函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点A、B； ⑵若函数F（x）=f（x）-g（x）在[2,3]上的最小值为9，最大值为21，试求a,b的值。 2.已知f（x）是定义域为[-6,6]上的奇函数，在[0,3]上是x的一次函数，在[3,6]上是x的二次函数，且当3≤x≤6时，f（x）≤f（5）,且f（5）=3，f（6）=2，试求f（x）的解析式。

Answer 1

1.已知二次函数f（x）=ax^2+bx+c和一次函数g（x）=-bx,其中a,b,c∈R且满足a﹥b﹥c,f（1）=0.
⑴证明：函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点A、B；
联立f(x)和g(x)的表达式，得到：ax^2+bx+c=-bx
所以：ax^2+2bx+c=0
令u(x)=ax^2+2bx+c
那么，△=(2b)^2-4ac=4(b^2-ac)……………………………（1）
已知a＞b＞c，且f(1)=a+b+c=0
所以，3c＜a+b+c=0＜3a
即，c＜0、a＞0
代入(1)得到：△=4(b^2-ac)＞0
所以，方程ax^2+2bx+c=0有不相等的两个实数根
即说明，f(x)和g(x)有不同的两个交点
⑵若函数F（x）=f（x）-g（x）在[2,3]上的最小值为9，最大值为21，试求a,b的值。
F(x)=f(x)-g(x)=ax^2+bx+c-(-bx)=ax^2+2bx+c
由前面的分析知，a＞0，c＜0，且△＞0
即，二次函数F(x)是开口向上，与x轴有两个交点，与y轴交于y轴负半轴的抛物线
对称轴x=-2b/2a=-b/a
因为a+b+c=0……………………………………………………（2）
所以，-b=a+c
所以，对称轴x=-b/a=(a+c)/a=1+(c/a)＜1
所以，在[2,3]上，F(x)的最大值为F(3)，最小值为F(2)
即：
F(3)=9a+6b+c=21………………………………………………（3）
F(2)=4a+4b+c=9…………………………………………………（4）
联立(2)(3)(4)得到：
a=2
b=1
c=-3
2.已知f（x）是定义域为[-6,6]上的奇函数，在[0,3]上是x的一次函数，在[3,6]上是x的二次函数，且当3≤x≤6时，f（x）≤f（5）,且f（5）=3，f（6）=2，试求f（x）的解析式。
因为f(x)是定义在[-6,6]上奇函数
所以，f(-x)=-f(x)
即：f(x)+f(-x)=0
所以，f(0)=0……………………………………………………（1）
又，在[3,6]上为二次函数，且在[3,6]上有f(x)≤f(5)=3
即，说明该二次函数在x=5时有最大值3
所以，设在[3,6]上二次函数表达式为：y=a(x-5)^2+3（a＜0）
已知，f(6)=2
所以，f(6)=a*(6-5)^2+3=a+3=2
所以，a=-1
即，二次函数的表达式为：-(x-5)^2+3=-x^2+10x-22………（2）
则，f(3)=-3^2+10*3-22=-1
而，f(0)=0
已知在[0,3]上为一次函数，而一次函数点(0,0),(3,-1)
所以，一次函数为：f(x)=-x/3………………………………（3）
综上(2)(3)得到：
………{-x/3（x∈[0,3]）
f(x)={
………{-x^2+10x-22（x∈[3,6]）
而，f(x)为奇函数
所以：
①当x∈[-3,0]时，-x∈[0,3]
则，f(-x)=-(-x)/3=x/3
则，f(x)=-x/3
②当x∈[-6,-3]时，-x∈[3,6]]
则，f(-x)=-(-x)^2+10(-x)-22=-x^2-10x-22
则，f(x)=x^2+10x+22
综上：
………{-x^2+10x-22（x∈[3,6]）
f(x)={-x/3（x∈[-3,3]）
………{x^2+10x+22（x∈[-6,-3]）