已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-x²
(1)求x<0时,f(x)的解析式(2)问是否存在这样的正数a,b,当x∈【a,b】时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为【b分之一,a分之一】?若存在,求出所有的a...
(1)求x<0时,f(x)的解析式 (2)问是否存在这样的正数a,b,当x∈【a,b】时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为【b分之一,a分之一】?若存在,求出所有的a,b的值,若不存在,请说明理由。
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(1)令x<0
则-x≥0
∴f(-x)=2×(-x)-(-x)²=-2x-x²
∵f(x)是奇函数
∴f(x)=-f(-x)
∴f(x)=2x+x²(x<0)
(2)①当0<a<b≤1时,1/a>1
而当x≥0时,f(x)的最大值为1,故此时不可能使g(x)=f(x)
②当0<a<1<b时,则g(x)最大值为g(1)=f(1)=1,
即1/a=1,得:a=1与0<a<1<b矛盾
③当1≤a<b时
∵x≥1,f(x)为减函数
则g(x)=f(x)=2x-x²
于是1/b=g(b)=-b²+2b,1/a=g(a)=-a²+2a
即(b-1)(b²-b-1)=0,(a-1)(a²-a-1)=0
∵1≤a<b
∴a=1,b=(1+√5)/2
则-x≥0
∴f(-x)=2×(-x)-(-x)²=-2x-x²
∵f(x)是奇函数
∴f(x)=-f(-x)
∴f(x)=2x+x²(x<0)
(2)①当0<a<b≤1时,1/a>1
而当x≥0时,f(x)的最大值为1,故此时不可能使g(x)=f(x)
②当0<a<1<b时,则g(x)最大值为g(1)=f(1)=1,
即1/a=1,得:a=1与0<a<1<b矛盾
③当1≤a<b时
∵x≥1,f(x)为减函数
则g(x)=f(x)=2x-x²
于是1/b=g(b)=-b²+2b,1/a=g(a)=-a²+2a
即(b-1)(b²-b-1)=0,(a-1)(a²-a-1)=0
∵1≤a<b
∴a=1,b=(1+√5)/2
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