Question

求：证明f（x）=x³在R上单调递增

图片中式子没个对应的步骤下面画大括号的是我的疑问！

Answer 1

我看到了你的疑问。

基本立方差公式是

x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)

其中，y²=1* y²=(1/4+3/4)*y²=1/4 *y² +3/4 *y²

这样一拆，我们就可发现这里形成了完全平方式

因为xy= 2* x *(1/2 *y)

而(1/2 *y)²=1/4 *y²

所以x²+xy+y²=x²+ xy + 1/4 *y² +3/4* y²

=[x² +2* x *(1/2 *y) +(1/2 *y)²]+3/4* y²

=(x+1/2*y)²+3/4* y²

追问

你好，我还是没看懂呀！y²拆完不是两个y吗？怎么变成（¼ ¾×y得）

追答

y²
=1* y²
=(1/4+3/4)*y² 【拆的是1，不是y²】
=1/4 *y² +3/4 *y² 【乘法分配率】

追问

那1个那来的！还有为什么要拆成¼ ¾，而不是其他分数

追答

任何一个数乘以1，都是他本身。

还有为什么要拆成1/4，后面已经说明了

因为x²+xy这2项

要凑出完全平方，就必须研究你中间交叉项是怎么回事

由于交叉项 xy=2*x*1/2 y

所以我们知道缺的平方项名叫(1/2 y)²=1/4*y²

至此我们知道1要拆成1/4和3/4

追问

我想问一下，那1是不是等于xy呀

追答

不等于，1就是个常数。字面上的数字1
你的题目里x1,x2(我怕混淆就变成x,y)是任意取的！

追问

我这道题是单调性呀

我挺笨的

我知道，你怕混淆才用x y代替的

追答

是单调性没错啊。

单调性，就是因式分解，证明每一个因式项都必定大于0或者小于0【或者可以有一个点等于0但不连续取0】，于是整个区间恒大等于0或者恒小等于0

在这个过程中，我们由基本立方差公式拆出2个，x-y很简单，x²+xy+y²我们没见过。

碰到没见过，我们先思考他最接近我们学过的谁？当然是完全平方和公式。

完全平方和公式是什么？a²+2ab+b²

和你这个对比，a是你的x，2ab是你的xy ，那1/2 y=b?最后还缺一项b²，不就是1/4 y²？？

所以我们才凑平方，发现加上少的1/4 y²

于是我们才会拆y²，乘一个1后拆开1。取出了1/4 y²，还剩下3/4 y²

2个平方数相加，必定大等于0，这才愉快地完成了x²+xy+y²的研究

追问

平房差跟立方差公式我都会化简！

只是那个分式没弄通

我现在还有一点没通，x跟y应该都乘以二呀！那为什么y要乘以二分之一呀

追答

因为他已经有的是x²+xy
交叉项是xy而不是2xy，这是你变不了的
所以我们只能先凑2
xy=2 *x(1/2 *y)

追问

那y为什么是分式

明白了

追答

1/2y 这个写法y做分母是分式，1/2 *y不是分式啊。

追问

就是说了必须要等于1

对吧！1×xy还等xy

所以y的用分式，我这理解对吗？

要是都成2就跟原题不符合

追答

所以这不叫分式……罢了，你理解就好。

反正就是交叉项原始公式有2，这是我们凑项不能回避的，故而xy必须前面先乘2，后面y补一个1/2

以后碰到同类的公式【只要是理科和数学扯上关系】基本同理可证，算是一种很常见的数学方法。

追问

对的！没法2的补2

对了，我在请问一下那¾x又是怎回事呀！

哦！这样呀！

还是很感谢你的！

刚才私信给你，不知你是否看到