Question

如图，BP是∠ABC的平分线，DP是∠CDA的平分线，BO与DP交于P，若∠A=44°，∠C=56°，求∠P的大小

Answer 1

解：设 PB与AD相交于点E，PD与BC相交于点F。∠PBA=∠PBC=α，∠PDA=∠PDC=β
所以 ∠PEA=∠A+α=∠P+β，
∠PFC=∠C+β=∠P+α
两式相加，得 ∠A+∠C+α+β = 2∠P+α+β
所以 2∠P = ∠A+∠C = 44°+56° = 100°
故 ∠P = 50°

Answer 2

在△PBM和DMC中
∵∠PMB=∠DMC （对顶角相等）
∴∠P+∠PBM=∠C+∠CDM （根据三角形内角和等于180º）
在△PND和△ANB中
∵∠PND=∠ANB （对顶角相等）
∴∠P+∠PDN=∠A+∠ABN （根据三角形内角和等于180º）

（1）+（2）
∴∠P+∠PBM+∠P+∠PDN=∠C+∠CDM +∠A+∠ABN
整理 2∠P+∠PBM+∠PDN=∠C+∠A+∠ABN +∠CDM
又∵∠PBM=∠ABN ∠PDN=∠CDM （BP平分∠ABC， DP平分∠CDA）
∴2∠P=∠C+∠A