Question

已知函数f(x)=(1/3)^x,x∈[-1,1]函数g(x)=f^2(x)-2...

已知函数f(x)=(1/3)^x,x∈[-1,1]函数g(x)=f^2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a) 求h(a) (1)求h(a) (2)是否存在实数m n同时满足 1 m>n>3 2 当h(a)的定义域[n,m]为值域为[n^2,m^2] 日日日

Answer 1

∵f(x)=(1/3)^x,x∈[-1,1]
∴f(x)∈[1/3,3]
设f(x)=t
则g(t)=t²-2at+3,t∈[1/3,3]
=(t-a)²+3-a²
对称轴t=a的位置是未知的,无法确定对称轴的位置,就无法判断最小值在何处取得,所以要对a进行分情况讨论
①当a＜1/3时,g(t)在[1/3,3]上单调递增,∴最小值在t=1/3处取得;
此时,最小值h(a)=
28/9
-
2a/3
②当1/3≤a≤3时,最小值在对称轴t=a处取得;
此时,最小值h(a)=
3-a²
③当a＞3时,g(t)在[1/3,3]上单调递减,最小值在t=3处取得;
此时,最小值h(a)=
12-6a
2.
看M、N要满足的第一个条件：M>N>3,也就是要求h(a)定义域大于3,只有第三种情况a>3满足,综上h(a)=
12-6a
(a＞3);
∵a＞3,∴h(a)=
12-6a＜0
再看M、N要满足的第二个条件：当h(a)的定义域为[N,M]时,值域为[N²,M²],值域都为平方型的,即值域是大于等于0,但是由上一个条件得到的h(a),在a＞3时,h(a)的值域是小于0的,与条件要求不符,所以不存在这样的M和N.