Question

几道大一高数题，求各路大神帮助啊。

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Answer 1

1. 求曲面2x²+3y+z²=47与曲面x²+2y²=z的交线上点(-2，1，6)处的切线和法平面。
   解：设F(x，y，z)=2x²+3y+z²-47=0.........(1)
            Q(x，y，z)=x²+2y²-z=0..................(2)
   在点(-2，1，6)处的偏导数：
   ∂F/∂x=4x=-8；∂F/∂y=3；∂F/∂z=2z=12；
   ∂Q/∂x=2x=-4；∂Q/∂y=4y=4；∂Q/∂z=-1；
   过点(-2，1，6)的切线方程为：(x+2)/L=(x-1)/m=(z-6)/n..........(3).
   过点(-2，1，6)的法平面为：L(x+2)+m(y-1)+n(x-6)=0............(4)；
   其中L=∣3    12∣=-3-48=-51；  m=∣12   -8∣=-48-8=-56； n=∣-8    3∣=-32+12=-20
              ∣4     -1∣                             ∣-1   -4∣                           ∣-4    4∣
   代入(3)式得切线方程为(x+2)/51=(x-1)/56=(z-6)/20；
   代入(4)式的切面方程为51(x+2)+56(y-1)+20(z-6)=0，展开即得51x+56y+20z-74=0.

2. 2.设函数z=f(x，υ)俱有二阶连续偏导数，其中υ=xy，求∂²z/∂x∂y
   解：∂z/∂x=∂f/∂x+y(∂f/∂υ)；∂²z/∂x∂y=x(∂²f/∂x∂υ)+∂f/∂υ+xy(∂²f/∂υ²)；

   3.利用格林公式计算[L]∮(x²ycosx+2xysinx-y²e^x)dx+(x²sinx-2ye^x)dy，

     其中L沿整个星形线 x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)(a>0)的逆时针方向，。

     解：P=x²ycosx+2xysinx-y²e^x；∂P/∂y=x²cosx+2xsinx-2ye^x；

           Q=x²sinx-2ye^x；∂Q/∂x=2xsinx+x²cosx-2ye^x=∂P/∂y；

          ∂P/∂y=∂Q/∂y，此积分与路径无关。取始点(-a，0)，终点(a，0)；此时y=0，dy=0。

    故[L]∮(x²ycosx+2xysinx-y²e^x)dx+(x²sinx-2ye^x)dy=0

  

 二。综合题

   1.用拉格朗日乘数法在抛物面z=x²+y²上求一点使其到平面x+2y-2z=9的距离最短

   解：设抛物面z=x²+y²上的一点P(x，y，z)到平面x+2y-2z-9=0的距离为S，则

   S=∣x+2y-2z-9∣/√(1+4+4)=(1/3)∣x+2y-2z-9∣；现在要求在条件z-x²-y²=0约束下S的最小值。

    作函数F(x，y，z)=(1/3)∣x+2y-2z-9∣+λ(z-x²-y²)；

    令∂F/∂x=1/3-2λx=0.......(1)；∂F/∂y=(2/3)-2λy=0.......(2)；∂F/∂z=(2/3)+λ=0.......(3)

   由(3)得λ=-2/3；代入(1)式得x=-1/4；代入(2)得y=-1/2；z=1/16+1/4=5/16。

   故得Smin=(1/3)∣-1/4-1-(5/8)-9∣=29/8.

   2.一半径为10米的圆形蓄水池，池底形状未知，测得其水面至圆形水池的中心距离为r米处的水

  深h满足关系式h=1/(1+r²)米，试计算水池的蓄水量。

   解：以水池水面中心作坐标原点，垂直向下的直线为y轴，水面任一半径方向为x轴建立坐标

     系。在此坐标系里，水深y=1/(1+x²)；(0≦x≦5)；1+x²=1/y；x²=(1/y)-1，](1/26≦y≦1)

     故蓄水量Q=[1/26，1]π∫x²dy+25π×(1/26)=[1/26，1]π∫[(1/y)-1]dy+(25/26)π

     =π(lny-y)[1/26，1]+(25/26)π=π[-1-ln(1/26)+1/26]+(25/26)π=πln26=10.24m³

追问

还有还有啊

追答

第3题修正：
3.利用格林公式计算[L]∮(x²ycosx+2xysinx-y²e^x)dx+(x²sinx-2ye^x)dy，
其中L沿整个星形线 x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)(a>0)的逆时针方向，。
解：P=x²ycosx+2xysinx-y²e^x；∂P/∂y=x²cosx+2xsinx-2ye^x；
Q=x²sinx-2ye^x；∂Q/∂x=2xsinx+x²cosx-2ye^x=∂P/∂y；
∂P/∂y=∂Q/∂y，此积分与路径无关，且积分区域是封闭的单连通域，故
[L]∮(x²ycosx+2xysinx-y²e^x)dx+(x²sinx-2ye^x)dy=0。