Question

(a+b)/2>=ab/(a+b)

设a，b属于R,且ab不等于0，如何证明以上不等式是错的？

Answer 1

证明：
(a+b)/2>=ab/(a+b)
当a+b>0时：
两边同乘以2(a+b)得：
(a+b)²>=2ab
a²+b²>=0
因为：ab≠0
所以：a²+b²>0
所以：原不等式无法取等号
当a+b<0时：
两边同乘以2(a+b)得：
(a+b)²<=2ab
a²+b²<=0………………（1）
因为：ab≠0
所以：a²+b²>0…………（2）
（1）和（2）出现矛盾
所以：原不等式不成立

Answer 2

（a+b)/2>=ab/(a+b)
当a+b>0时
（a+b)平方>=2ab
a平方+2ab+b平方>=2ab
a平方+b平方>=0
成立
当a+b<0时
a平方+b平方<=0
不成立
a，b属于R，没有条件说必须a+b>0
所以不等式是错的

Answer 3

两式相减有{（a+b)²-2ab}/2(a+b),分母大于等于0，当（a+b)<0时，不成立

Answer 4

算数平均数>=调和平均数:(a＋b)/2>=2/(1/a＋1/b)=2ab/(a＋b)>ab/(a＋b)