Question

已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切.是否存在过点P（0，-3）的直线l与圆C交于

两点A，B，且弦AB的垂直平分线m过点Q（3.-3），若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由。

Answer 1

∵点C在x轴上，∴可设点C的坐标为（t，0）。
∵⊙C与直线3x＋4y＋4＝0相切，∴点C到直线3x＋4y＋4＝0的距离＝2，
∴｜3t＋4｜/√（3^2＋4^2）＝2，∴｜3t＋4｜＝10，∴3t＋4＝10，或3t＋4＝－10，
∴t＝2，或t＝－14/3。
∴⊙C的方程为（x－1）^2＋y^2＝4，或（x＋14/3）^2＋y^2＝4。

一、当⊙C的方程为（x－1）^2＋y^2＝4时，令直线l的斜率为a，则直线l的方程为y＝ax－3。
　　联立：y＝ax－3、（x－1）^2＋y^2＝4，消去y，得：（x－1）^2＋（ax－3）^2＝4，
　　∴x^2－2x＋1＋a^2x^2－6ax＋9＝4，∴（1＋a^2）x^2－（2＋6a）x＋6＝0。

　　∵A、B在直线y＝ax－3上，∴可设A、B的坐标分别为（c，ac－3）、（d，ad－3）。
　　显然，c、d是方程（1＋a^2）x^2－（2＋6a）x＋6＝0的根，
　　∴由韦达定理，有：c＋d＝（2＋6a）/（1＋a^2），
　　∴（c＋d）/2＝（1＋3a）/（1＋a^2），
　　∴AB中点的横坐标为（1＋3a）/（1＋a^2），纵坐标为a（1＋3a）/（1＋a^2）－3，
　　∴AB中垂线的斜率＝［a（1＋3a）/（1＋a^2）］/［（1＋3a）/（1＋a^2）－3］＝－1/a，
　　∴a（1＋3a）/（1＋3a－3－3a^2）＝－1/a，
　　∴a^2（1＋3a）＝3a^2－3a＋2，∴a^2＋3a^3＝3a^2－3a＋2，∴3a^3－2a^2＋3a－2＝0，
　　∴a^2（3a－2）＋（3a－2）＝0，∴（3a－2）（a^2＋1）＝0，∴a＝2/3。
　　∴此时直线l的方程是：y＝（2/3）x－3，即：2x－3y－9＝0。

二、当⊙C的方程为（x＋14/3）^2＋y^2＝4时，令直线l的斜率为b，则直线l的方程为y＝bx－3。
　　联立：y＝bx－3、（x＋14/3）^2＋y^2＝4，消去y，得：
　　（x＋14/3）^2＋（bx－3）^2＝4，
　　∴x^2＋（28/3）x＋（14/3）^2＋b^2x^2－6bx＋9＝4，
　　∴（1＋b^2）x^2＋（28/3－6b）x＋（14/3）^2＋5＝0。

　　∵A、B在直线y＝bx－3上，∴可设A、B的坐标分别为（e，be－3）、（f，bf－3）。
　　显然，e、f是方程（1＋b^2）x^2＋（28/3－6b）x＋（14/3）^2＋5＝0的两根，
　　∴由韦达定理，有：e＋f＝（6b－28/3）/（1＋b^2），
　　∴（e＋f）/2＝（3b－14/3）/（1＋b^2），
　　∴AB中点的横坐标为（3b－14/3）/（1＋b^2），纵坐标为b（3b－14/3）/（1＋b^2）－3，
　　∴AB中垂线的斜率
　　＝［b（3b－14/3）/（1＋b^2）］/［（3b－14/3）/（1＋b^2）－3］＝－1/b，
　　∴b（3b－14/3）/（3b－14/3－3－3b^2）＝－1/b，
　　∴b^2（3b－14/3）＝3b^2－3b＋3＋14/3，
　　∴3b^3－（14/3）b^2＝3b^2－3b＋3＋14/3，
　　∴3b^3－（3＋14/3）b^2＋3b－（3＋14/3）＝0，
　　∴b^2［3b－（3＋14/3）］＋［3b－（3＋14/3）］＝0，
　　∴［3b－（3＋14/3）］（b^2＋1）＝0，∴b＝1＋14/9＝23/9。
　　∴此时直线l的方程是：y＝（23/9）x－3，即：23x－9y－27＝0。

综上一、二可知，满足条件的直线l的方程是2x－3y－9＝0或23x－9y－27＝0。

追问

t为2为什么⊙C的方程为（x－1）^2＋y^2＝4，不是（x－2）^2＋y^2＝4吗？而且t=－14/3排除吧，因为圆心在x轴的正半轴。谢谢可以麻烦你再做一下吗？

追答

更正如下：
∵点C在x轴上，∴可设点C的坐标为（t，0），且t＞0。
∵⊙C与直线3x＋4y＋4＝0相切，∴点C到直线3x＋4y＋4＝0的距离＝2，
∴｜3t＋4｜/√（3^2＋4^2）＝2，∴｜3t＋4｜＝10，∴3t＋4＝10，∴t＝2。
∴⊙C的方程为（x－2）^2＋y^2＝4。

令直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx－3。

联立：y＝kx－3、（x－2）^2＋y^2＝4，消去y，得：（x－2）^2＋（kx－2）^2＝4，
∴x^2－4x＋4＋k^2x^2－4kx＋4＝4，∴（1＋k^2）x^2－（4＋4k）x＋4＝0。

∵A、B在直线y＝bx－3上，∴可设A、B的坐标分别为（m，km－3）、（n，kn－3）。

显然，m、n是方程（1＋k^2）x^2－（4＋4k）x＋4＝0的两根，∴由韦达定理，有：
m＋n＝（4＋4k）/（1＋k^2），∴（m＋n）/2＝（2＋2k）/（1＋k^2）。
∴AB中点的横坐标为（2＋2k）/（1＋k^2）、纵坐标为（2＋2k）k/（1＋k^2）－3。

∴AB中垂线的斜率
＝［（2＋2k）k/（1＋k^2）］/［（2＋2k）/（1＋k^2）－3］＝－1/k，
∴（2＋2k）k^2/（1＋k^2）＝3－（2＋2k）/（1＋k^2），
∴（2＋2k）k^2＝3（1＋k^2）－（2＋2k），
∴2k^2＋2k^3＝3＋3k^2－2－2k，∴2k^3－k^2＋2k－1＝0，
∴k^2（2k－1）＋2k－1＝0，
∴（2k－1）（k^2＋1）＝0，∴k＝1/2。
∴满足条件的直线l的方程是y＝（1/2）x－3，即：x－2y－6＝0。