Question

已知双曲线C： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1（a＞0，b＞0）的离心率为

已知双曲线C： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 2 ，焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线的方程； （2）设直线y=kx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，求k的取值范围； （3）若另一条直线l经过点P（-2，0）及线段AB的中点，求直线l在y轴上的截距b 0 的取值范围．

Answer 1

（1）∵双曲线C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
2
，
∴a=b，
∵双曲线焦点（
2
a，0
）到渐近线x±y=0的距离为1，
∴
2
a
2
=1
，
解得a=b=1，
∴双曲线方程为x
2
-y
2
=1．
（2）设A
1
（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），
将直线y=kx+1代入双曲线x
2
-y
2
=1，得
（1-k
2
）x
2
-2kx-2=0，
因与左支交于两点，则
∴
1-
k
2
≠0
△=4
k
2
+8(1-
k
2
)＞0
x
1
+
x
2
=
2k
1-
k
2
＜-2
(
x
1
+1)(
x
2
+1)≥0
解得1＜k＜
2
．
（3）AB的中点为（
x
1
+
x
2
2
，
y
1
+
y
2
2
），
即（
k
1-
k
2
，
k
1-
k
2
），
∴直线l的方程为
y=
1
-2
k
2
+k+2
（x+2），
令x=0，得b=
2
-2
k
2
+k+2
=
1
-(k-
1
4
)
2
+
17
16
，
∵
1＜k＜
2
，
∴
b∈(-∞，-2-
2
)∪(2，+∞)
．