Question

定积分拍照搜题

求定积分,想了很久
3题定积分,主要把不定积分求出来就好了,后面的都能自己代数
1.∫（x∧3/2）/1+x dx
2.∫dx/x√（x∧2+1）
3.∫√（x∧2-1）dx/x

Answer 1

1：
∫ x^(3/2)/(1 + x) dx,令u = √x,x = u²,dx = 2u du
= ∫ u³/(1 + u²) * (2u du)
= 2∫ u⁴/(1 + u²) du
= 2∫ u²[(1 + u²) - 1]/(1 + u²) du
= 2∫ u² du - 2∫ [(u² + 1) - 1]/(1 + u²) du
= 2∫ u² du - 2∫ du + 2∫ du/(1 + u²)
= (2/3)u³ - 2u + 2arctan(u) + C
= (2/3)x^(3/2) - 2√x + 2arctan(√x) + C
2：
∫ dx/[x√(x² + 1)],令x = tanz,dx = sec²z dz
= ∫ 1/(tanz * |secz|) * (sec²z dz)
= ∫ cscz dz
= ln|cscz - cotz| + C
= ln|√(x² + 1)/x - 1/x| + C
3：
∫ √(x² - 1)/x dx,令x = secz,dx = secztanz dz
= ∫ |tanz|/secz * (secztanz dz)
= ∫ tan²z dz
= ∫ (sec²z - 1) dz
= tanz - z + C
= √(x² - 1) - arccos(1/x) + C