Question

高中数学题求解，第3问不懂求解答

Answer 1

答：
（1）根据图像可以知道，抛物线开口向下，a<0；零点x1=0，x2=8，顶点（4,16）
设抛物线方程为y=a(x-8)x
顶点坐标代入得：4*(-4)a=16，a=-1
所以：抛物线方程为y=-x²+8x

（2）
时间不够，稍后解决，只需要第三问吗？

追答

（3）g(x)=6lnx+m与f(x)=-x²+8x有且仅有两个不同的交点。
令h(x)=g(x)-f(x)=6lnx+m+x²-8x，x>0
求导：h'(x)=6/x+2x-8>=2*2√(x*3/x)-8=4√3-8
令h'(x)=6/x+2x-8=0
即：(x-1)(x-3)=0
解得：x1=1，x2=3
当03时，h'(x)>0，h(x)是增函数；
当1<x<3时，h'(x)<0，h(x)是减函数；
所以：x=1时，h(x)取得极大值；x=3时，h(x)取得极小值
h(1)=6ln1+m+1²-8*1=m-7
h(3)=6ln3+m+3²-8*3=m+6ln3-15

如果h(x)=g(x)-f(x)=0仅有两个不同的零点，则有：
h(1)=0或者h(3)=0
所以：
h(1)=m-7=0
或者：
h(3)=m+6ln3-15
解得：m=7或者m=15-6ln3

追问

对不起啊，这步我不是很懂，为什么要用或者，不是必须有两个吗？

追答

你看一下下面的简图。在0<x<1或者x>3是增函数，在1<x<3是减函数。

在x=1和x=3处不可能同时等于0，有且只有两个零点的话，必须使得

其中一个在x轴上。

知道了函数的单调性，要学会绘制简单的图像结合判断，这样才能完整解答题目